Как известно, фразеологизм - это устойчивый оборот речи: тянуть лямку, намылить шею, сесть в калошу, бить баклуши и так далее.
Синонимом является слово ИДИОМА, которое также обозначает устойчивое выражение: попасть впросак, (бежать) сломя голову, собаку съесть, (работать) спустя рукава.
"С гулькин нос" означает "очень маленький". А значит, антонимами к данному фразеологизму можно считать, например, слова "большой", "большущий", "огромный", "громадный", "грандиозный", "великанский", "необъятный", "гигантский".
Черный лебедь, добровольно залетевший в клетку, и уже никогда от туда не вернувшийся.
Сестра темной ночи. Хранительница божьих тайн.
Синонимом к слову "фразеологизм" является слово "идиома". Кроме того, можно заменить слово "фразеологизм" определением "устойчивое словосочетание в переносном смысле", т.е. оно тоже будет синонимичным.
Выражение "Стремление к лучшему" подразумевает, что у человека уже что-то есть, и это что-то его не очень устраивает. То есть, он не прочь поменять то что имеет, на что-то более хорошее, на что-то такое, что окажется лучше.
Причем то что имеет человек не обязательно должно быть материального плана. Часто говорят про лучшую долю, лучшие годы, лучший выбор. Если человек живет в принципе нормально, у него все есть, но ему хочется жить еще лучше, то он испытывает то самое Стремление к лучшему.
Если человек что-то делает, творит, но результат его не устраивает, он снова стремится к лучшему, к более совершенному.
Поэтому выражение Стремление в совершенству можно посчитать синонимом выражения Стремление к лучшему.
Из других синонимов приведу:
Стараться стать лучше
Начать жизнь заново
Выбрать лучший путь
Найти оптимальное решение
Стремление к большему.
Желание получить все или ничего.
Об опасности безоглядного стремления к лучшему предупреждает народная пословица: