Question

ЗАДАЧА 1
Треугольник CDE - равнобедренный, CD=DE, C(4;-2;3), D(x;y;z), E(-1;1;2). Запишите уравнение относительно x, y, z, удовлетворяющее условиям задачи.
Варианты ответов:
1)8x-4y-2z+7=0
2)5x+8y-3z-15=0
3)6x+5y+4z-15=0
4)10x-6y+2z-23=0
ЗАДАЧА 2
Найдите площадь треугольника MNT,если M(-6;0;0)
N(0;8;0),T(0;0;2)
ОТВЕТ:26

Answer 1

Ну это же почти устно всё.
В задаче 1 точка D лежит на плоскости, перпендикулярной EС и проходящей через его середину. Вектор EC = (5, -3, 1), поэтому уравнение плоскости должно иметь вид
5x - 3y + z + F = 0; где F - какое то число. Уже ясно, что из предложенных ответов подойти может только вариант 4), надо только проверить, что точка с координатами "(E + C)/2", то есть (3/2, -1/2, 5/2) удовлетворяет уравнению. 10*3/2 + 6*1/2 + 5*2/1 = 23; подходит.
В задаче 2 можно поступить "тупо" - найти длины сторон треугольника
(10, √40, √68) и вычислить площадь по формуле Герона. Это очень хорошее упражнение. Но есть, конечно, и более простой способ - расстояние от точки T до MN (MN = 10) вычислить довольно просто, так как расстояние от точки O до MN - это высота египетского треугольника OMN, она равна 6*8/10 = 4,8; если основание этой высоты обозначить буквой H, то треугольник TOH тоже оказывается пифагоровым - у него катеты 2 и 4,8, то есть это треугольник, кратный (5,12,13), и третья сторона равна 5,2
Площадь MNT равна 10*5,2/2 = 26