Question

Медиана AM и биссектриса BD прямоугольного треугольника ABC (угол C=90) пересекаются в точке О, BO=9, OD=5. Найти катеты и расст

ояние от точки О до гипотенузы AB.

Answer 1

Опустим из точки O перпендикуляры OK и OL на катеты BC и AC. Из подобия треугольников следует, что DL:LC=5:9; положим DL=5y, LC=9y. Далее, полагая BM=MC=7x и используя тот факт, что BK:KC=9:5, приходим к равенствам MK=2x, KC=5x. Теоема Пифагора, применённая к треугольнику BCD, влечёт равенство x2+y2=1. При этом тангенс угла DBC будет равен y/x, а потому тангенс удвоенного угла ABC равняется2yx1−y2x2=2xyx2−y2.Теперь рассмотрим подобные треугольники OMK и AMC, откуда отношение OK:AC равно MK:MC=2:7. Ввиду того, что OK=LC=9y, находим AC=63y/2. Это значит, что тангенс угла ABC равен AC:BC=9y4x. Приравнивая два выражения для тангенса одного и того же угла, мы после упрощений приходим к уравнению x2=9y2, после чего x и y легко находятся. Расстояние от O до гипотенузы равно расстоянию от O до катета BC, что составляет OK=LC=9y.