ладно, все равно надо очки набирать, так хоть с пользой.
На рисунке представлена ПРОИЗВОЛЬНАЯ описанная трапеция с заданными основаниями a и b. Я не стану отвелекаться на очевидные вещи вроде равенства углов, отмеченных одинаковыми буквами греческого алвавита, уж это то вы можете доказать (я надеюсь). Сразу запишу очевидную систему из 2 равенств, которая исчерпывает задачу.
a = r*(ctg(альфа) + ctg(бета));
b = r*(tg(альфа) + tg(бета));
Напоминаю, что альфа и бета - ПОЛОВИНЫ углов при большем основании а.
Для упрощения анализа я сделаю вот что - обозначу x = tg(альфа); y = tg(бета); и буду считать (если это понадобится, это не ограничивает общность), что x > y;
a/r = 1/x + 1/y;
b/r = x + y;
Ясно видно, что в системе 3 неизвестных, и больше условий взять не откуда. Однако кое-что еще можно сделать.
a/r = (x + y)/(x*y) = (b/r)/(x*y);
x*y = b/a;
Я запоминаю это соотношение и подставляю в b/r = x + y; вот это y = b/(a*x);
Получается после некоторых простых действий
r = x*a*b/(a*x^2 + b);
Вот теперь можно эту формулу повертеть.
Во-первых, ПРЕДПОЛОЖИМ, что x = y, то есть углы при основании а равны (равнобедренная трапеция).
x^2 = b/a; подставляем в выражение для радиуса, получаем
r = корень(a*b)/2;
А что получится, если угол 2*альфа равен 90 градусов (прямоугольная трапеция)? В этом случае x = tg(45) = 1;
r = a*b/(a + b);
Оба эти случая очень легко решаются без применения тригонометрических соотношений, с использованием формул не сложнее теоремы Пифагора (хотя какая это тригонометрия, все элементарно), ответы буду такие же.
Задачи можно варьировать, как угодно. Например, выбирать разные соотношения между углами, сторонами и прочее. Но в конечном итоге всегда надо получить достаточно данных для применения формулы r = x*a*b/(a*x^2 + b);
Чтобы "не нарушать правила", подставляю 9 и 16 для случая равнобедренной трапеции, получу r = корень(9*16)/2 = 6;
В случае прямоугольной трапеции r = 144/25 = 6 - 6/25; что на 4% меньше :)))
Интересно было бы исследовать функцию r(x); но лень и спать пора после футбола :)))
