Не скажу, что это доказательство в виде теоремы. Скорее объяснение, которое легко запомнить и передать затем своими словами.
<span>Окружность на<span>зывается вписанной в многоугольник, </span></span>если <span> стороны многоугольника являются для неё касательными.
</span><span>Очевидно, что <u>не во всякий многоугольник можно вписать окружность</u>.
</span>Но всякий многоугольник можно разделить на треугольники.
А площадь треугольника можно найти половиной произведения стороны на высоту, проведенную к ней.
S=0,5*h*a, где а - сторона треугольника, h- высота к ней.
Для многоугольника его площадь - сумма площадей всех треугольников, на которые его можно разделить:
<span>
S=S₁+S₂+ S₃ и т.д
</span><u>Высоты </u>треугольников, на которые можно разделить описанный многоугольник, <u>равны радиусу</u> вписанной окружности, так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания. .
<span>Тогда
S=0,5*a₁*r+0,5*a₂*r+0,5*a₃* r+0,5*a₄*r и т.д.
</span>Вынесем общий множитель 0,5r за скобки<span><em>⇒
S=r*0,5*(a</em><em>₁+</em>a<em>₂+</em>a<em>₃+</em>a<em>₄+ a</em><em>n</em><em>)
</em></span><span>Ясно, что
0,5*(a₁+a₂+a₃+a₄+an) - это
полупериметр многоугольника </span>Теперь можно площадь многоугольника, в который вписана окружность, записать как
<em>S=r*p</em>, где
r- радиус вписанной в многоугольник окружности,
р- полупериметр этого многоугольника. Что и требовалось доказать.
-----
[email protected]