Question

Докажите, что угол BAC равен углу CAT. Всё что нам дано: рисунок, BC=AD/2, CT=TD. На рисунке используйте лишь расположение точек, т.е. на надо писать что трапеция ABCD равнобедренная, потому что она выглядит как равнобедренная, хотя она действительно равнобедренная, но это нужно доказать)

Answer 1

1. Проведем среднюю линию трапеции ТМ, которая пересечет диагональ трапеции AC в точке Q. Рассмотрим треугольник АМТ. В нем сторона АМ=AB/2 = R/2 (так как МТ - средняя линия трапеции). Сторона АТ=R. Следовательно, АМ/АТ = (R/2)/R = 1/2.

МQ=BC/2 (так как MQ - средняя линия треугольника АВС).

QT=AD/2=BC/4 (средняя линия треугольника АСD. Тогда MQ/QT=(BC/2)/(BC/4)=1/2.

Отрезок AQ является биссектрисой угла АМТ по свойству биссектрисы: "биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам". В нашем случае: АМ/АТ=MQ/QT => AQ - биссектриса угла АМТ.

Следовательно, <BAC=<CAT, что и требовалось доказать.

2. Треугольники АВС и АСТ равны по двум сторонам и углу между ними (<BAC=<CAT - доказано выше,  АВ=АТ - радиусы, АМ - общая).  =>  ВС=СТ.  =>  CD=AD (так как CD и AD равны 2*ВС). АВ=AD как радиусы. => AB=CD, то есть трапеция ABCD равнобедренная, что и требовалось доказать.

Answer 2

Проведём в треугольнике ACD среднюю линию. Она пересечёт AC в точке Q (запомним, что QC принадлежит AC). При этом QT || AD, и следовательно QT || BC. Видим, что QT=AD/2. Сторона BС также равна AD/2, следовательно BС=QT. Т.к. BС=QT и BС || QT, то BCTQ-параллелограмм. Получается, что точка Q является как вершиной параллелограмма, как и точкой на отрезке AC.

Проведём к хорде BT медиану AP. При этом треугольники ABP и ATP будут равны по 3-м сторонам, т.к. AB=AT, BP=PT, AP - общая. Следовательно, углы APB и APT в этих треугольниках равны, а т.к. эти углы смежные, то они равны 90 градусов. Получается, что AP является перпендикуляром к хорде.

QC и BT - диагонали параллелограмма, которые пересекаются в их серединах, но т.к. AP - медиана => P - середина BT, то точка P принадлежит также QC, а т.к. QC принадлежит AC (см. ранее), то и P принадлежит AC, т.е. точки Q и P лежат на AC.

Точки A и P лежат, как на AP, так и на AC, следовательно AP и AC лежат на одной прямой.

Т.к. AP перпендикулярен BT, то и QC перпендикулярен BT. Диагонали QC и BT параллелограмма QBCT перпендикулярны, следовательно QBCT является ромбом => BQ=BC=CT=QT.

Треугольники BAQ и TAQ равны по трём сторонам. У них AB=AT, BQ=QT, AQ-общая => равны углы BAQ и TAQ => равны углы BAC и TAC