Question

Задача. Какова вместимость пожарного ведра?

Внутрь пожарного конусообразного ведра поместили мяч диаметром 16 см. На край ведра положили мяч диаметром 50 см. В результате расстояние между мячами составило 2,4 см. Если вместо мяча диаметром 50 см, положить мяч диаметром 40 см, то он придет в соприкосновение с тем, что внутри ведра.

Сколько литров воды можно зачерпнуть пожарным ведром?

Answer 1

Предположим, малый шар погружен в ведро на х см, тогда квадрат радиуса конуса с одной стороны равен (400 - (20 - х)²) = (40х - х²) см, а с другой - (625 - (25 - х + 2,4)²) = (54,8х - 125,76 - х²) см, откуда х ≈ 8,5 см, а радиус основания конуса равен примерно 16,36 см.

Далее рассмотрим прямоугольные треугольники, один из которых образован высотой конуса (обозначим ее h), найденным нами радиусом и его образующей, а второй является половиной равнобедренного треугольника, в который вписана окружность с радиусом 8 см, т.е. он образован высотой данного треугольника (она равна (h - 8,5) см), боковой стороной, являющейся частью образующей конуса (обозначим ее а) и половинкой основания (пусть это будет b). Очевидно, они подобны. Из этого следует, что (h - 8,5)/h = b/16,36, откуда b = 16,36*(h - 8,5)/h.

Теперь вспоминаем формулу радиуса вписанной окружности. С учетом того, что b у нас половина основания тр-ка,

r = b*√(a² - b²)/(a + b).

При этом а² = b² + (h-8,5)² = 16,36²*(h - 8,5)²/h² + (h-8,5)² = (h - 8,5)²*(16,36² + h²)/h², откуда а = (h - 8,5)*√(16,36² + h²)/h.

a² - b² = (h-8,5)², из чего b*√(a² - b²) = 16,36*(h-8,5)²/h.

a + b = (h-8,5)*(√(16,36² + h²) + 16,36)/h, а значит

r = 16,36*(h-8,5)/(√(16,­<wbr />36² + h²) + 16,36), что по условию равно 8.

Если я нигде не запуталась в решении уравнения, то h ≈ 35,7 см.

Таким образом, объем ведра равен

π*35,7*16,36²/3 ≈ 10 000,1 куб. см или около 10 л.

Answer 2

Пусть радиус конуса R, а высота Н.

Высота вошедшей в ведро части большого шара равна 25-√(25^2-R^2).

Высота вошедшей в ведро части среднего шара равна 20-√(20^2-R^2).

Составляем простенькое уравнение: (20-√(20^2-R^2))-(25­<wbr />-√(25^2-R^2))=2,4, и решаем:

√(25^2-R^2)-√(20^2-R­<wbr />^2)=7,4;

(625-R^2)-2*√(625-R^­<wbr />2)*(400-R^2)+(400-R^2­<wbr />)=54,76;

625-R^2-2*√(250000-1­<wbr />025*R^2+R^4)+400-R^2=­<wbr />54,76;

970,24-2*R^2=2*√(250­<wbr />000-1025*R^2+R^4);

485,12-R^2=√(250000-­<wbr />1025*R^2+R^4);

235341,4144-970,24*R­<wbr />^2+R^4=250000-1025*R^­<wbr />2+R^4;

54,76*R^2=14658,5856­<wbr />;

R^2=267,6878305;

R=16,36116837;

Высота вошедшей в ведро части среднего шара равна 20-√(20^2-R^2)=8,497­<wbr />297297;

Расстояние от основания конуса (ведра) до центра малого шара 8,497297297+8=16,497­<wbr />297297

Расстояние от вершины конуса до центра малого шара равно (Н-16,497297297). Проведём радиус из центра малого шара к образующей конуса. Получим прямоугольный треугольник, больший катет которого равен √((Н-16,497297297)^2­<wbr />-8^2)=√(H^2-32,994594­<wbr />5940*H+208,1608181056­<wbr />)

Этот треугольник подобен треугольнику, образованному радиусом, высотой и образующей конуса.

Из подобия получаем 16,36116837/Н=8/√(H^­<wbr />2-32,9945945940*H+208­<wbr />,1608181056);

√(H^2-32,9945945940*­<wbr />H+208,1608181056)=8*Н­<wbr />/16,36116837;

H^2-32,9945945940*H+­<wbr />208,1608181056=0,2390­<wbr />84459*н^2;

0,760915541*H^2-32,9­<wbr />945945940*H+208,16081­<wbr />81056=0;

H^2-43,3617041535*H+­<wbr />273,566259=0;

H=21,6808520767(+-)√SHY=21,6808520767(­<wbr />+-)√196,4930877511.

Очевидно, что Н=21,6808520767+14,0­<wbr />1759921=35,6984512917

Объём ведра Пи*267,6878305*35,69­<wbr />84512917/3=10007,0627­<wbr />092410.

Т.е. объём ведра около 10 л.