Question

Известны расстояния от точки до вершин треугольника. Как найти площадь?

Расстояния от внутренней точки Р равностороннего треугольника до вершин равны 3, 4 и 5.

Чему равна площадь треугольника?

Answer 1

В правильном треугольнике АВС расстояния от внутренней точки О до вершин равны 3, 4 и 5. Построим треугольник АА₁С, поворотом исходного треугольника на 60⁰ вокруг точки С. В результате получим два треугольника: желтый СОО₁, все стороны которого равны 3, и зеленый АОО₁ - со сторонами 3, 4, 5 (египетский).

Аналогичным способом строим треугольники ВВ₁А и СС₁В, соответственно поворотом исходного треугольника на 60⁰ вокруг точек А и В. Получаем оранжевый и красный правильные треугольники со сторонами 4 и 5 и два идентичных зеленых со сторонами 3, 4, 5.

Из рисунка очевидно - суммарная площадь перечисленных треугольников в два раза больше исходного.

S = (3*3*4/2 + (3² + 4² + 5²)*√3/4)/2 = 9 +25*√3/4 ≈19,825

Answer 2

высоту треугольника уже правильно посчитали. Равна 12 (3+4+5). Сторону найти тоже просто: поделить на синус шестидесяти градусов. 12: (sqrt(3)/2) = 8 * sqrt(3), примерно так 13,86

Соответственно, площадь S = 12 * 8*sqrt(3)/2 = 83,1384

<hr />

Дежавю

Без оного дежавю я бы не влез в отвечающие.

Answer 3

Что-то голова не хочет ломаться для точного решения задачи.

Сторона треугольника меньше 7, но больше 5. Если задача в целых числах, то пусть будет 6.

Если же сторона правильного треугольника 6, то его площадь по формуле Герона будет 15.588

Answer 4

В равностороннем треугольнике сумма расстояний до вершин постоянна.

Значит, если точку переместим в одну из вершин, получим то же расстояние 12

Таким образом, высота треугольника равна 12.

Зная высоту легко вычислить сторону треугольника = 12*sqrt(3)/2 = 6*sqrt(3).

Итог: площадь треугольника равна 12*6*sqrt(3) = 72*sqrt(3)