<span>Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.</span><span>Теорема 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.</span><span>Теорема 3. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.</span><span>Теорема 4. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.</span>
Проекцией прямой МД на плоскость ромба является его диагональ ВД, а так как диагонали ромба перпендикулярны то АС⊥МД
Http://enpics.ru/images/491470_povorot.jpg
Пусть: AM = a, MN = b, угол BAM = α, MBN = β.
Тогда очевидно: угол ABM = α, ABC = 2α+β = 3/5π (угол правильного пятиугольника)
Из ΔABM угол AMB = π - 2α
из ΔBMN (тоже равнобедренного) угол при основании BMN = (π-β)/2
При этом углы AMB и BMN смежные и равны π.
Итого:
2α+β = 3/5π
π - 2α + (π-β)/2 = π
Из этих двух равенств β = π/5, а если потом подставить в первое, то и α = π/5.
По теореме Косинусов из ΔBMN
b² = a² + a² - 2 a · a · cos β
b² = 2 a² (1- cos β)
Делим все на b²
1 = 2 a² / b² · (1- cos β)
1/ 2 / ( 1- cos β) = a² / b²
ну и отношение a/b = 1/ √ ( 2 · ( 1- cos π/5) )
