Question

У=х^2, у=х^4 нужно найти площадь фигуры ограниченной линиями.
Буду благодарен ​

Answer 1

Ответ: 4/15

Объяснение:

Найдём точки пересечения графиков y = x² и y = x⁴:

x⁴ = x²

x⁴ - x² = 0

x²(x² - 1) = 0

x² = 0  или  x² - 1 = 0

x = 0, x = -1, x = 1

Схематично изобразим графики функций (во вложении).

1 способ:

Заметим, что функции чётные, поэтому площадь искомой фигуры будет равна удвоенной площади правой ее части.

Так как функция y = x² лежит выше y = x⁴, то последнюю будет вычитать из первой.

$S=2\int\limits^1_0 {(x^2-x^4)} \, dx=2(\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5})\bigg|^1_0=2(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}-0+0)=2\cdot \frac{5-3}{15} =\frac{4}{15}$

2 способ:

Искомая фигура определена на отрезке [-1; 1]. На этом отрезке и будем вычислять интеграл.

$S=\int\limits^1_{-1} {(x^2-x^4)} \, dx= (\frac{x^3}{3}-\frac{x^5}{5})\bigg|^1_{-1}=(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})-(-\frac{1}{3}+\frac{1}{5})=\\\\ =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{2}{3}-\frac{2}{5}=\frac{10-6}{15}=\frac{4}{15}$