Question

Выполните указанные действия с комплексным числом, а результат представьте в алгебраической, тригонометрической и показательной формах

Answer 1

$\alpha = \frac{2 \sqrt{2} }{1+i}= \frac{2 \sqrt{2}(1-i) }{(1-i)(1+i)} = \frac{2 \sqrt{2}(1-i) }{1-i^2}= \frac{2 \sqrt{2}(1-i) }{1+1}= \frac{2 \sqrt{2}(1-i) }{2}=\\= \sqrt{2}(1-i) = \sqrt{2}- i\sqrt{2}\\\\ \alpha = \sqrt{2}- i\sqrt{2}$

Находим тригонометрическую форму комплексного числа:
$| \alpha |= \sqrt{( \sqrt{2})^2+(- \sqrt{2})^2 }= \sqrt{2+2}= \sqrt{4}=2\\\\ \left \{ {{cos \varphi= \frac{ \sqrt{2} }{2} } \atop {sin \varphi=- \frac{ \sqrt{2} }{2} }} \right.=\ \textgreater \ \; \; \varphi= \frac{7 \pi }{4}\\\\ \alpha =2(sin \frac{7 \pi }{4}+isin \frac{7 \pi }{4})$

Находим показательную форму комплексного числа:
$\alpha =| \alpha |e^{i \varphi}\\\\ \varphi= \frac{7 \pi }{4}\\\\ \alpha =2e^{ \frac{7 \pi }{4}i }$