Все три указанных вами выражения по сути обозначают одно и тоже.
Слово "больничный" является сленгом, и употребляется в устной простонародной речи, для того чтобы сократить длинное и официальное выражение - временная нетрудоспособность, в связи с заболеванием работника.
Больничный листок - листок нетрудоспособности - это медицинский документ, который подтверждает временную нетрудоспособность работника.
А вот слово "бюллетень" имеет несколько значений и для определения четкости понимания должно быть с связке со другим словом.
Так, слово бюллетень, в первом случае обозначает, больничный лист.
Во втором значении, бюллетень имеет понятие — краткое официальное сообщение.
И, в третьем значении, бюллетень — это информационное периодическое издание с краткой справочной информацией,например<wbr />, биржевой бюллетень.
В официальном делопроизводстве граммотно будет указать:
В связи с временной нетрудоспособностью Петрова И.И. поручить исполнение его обязанностей Иванову П.П.
А по поводу
пошел на больничный - обозначает - заболел,
открыл лист нетрудоспособности или оформил лист нетрудоспособности - это действия, которые выполняет не заболевший работник (сотрудник), а его лечащий врач, который только подтверждает заболевание (нетрудоспособность) сотрудника вашей организации,а сам является сотрудником медицинского учереждения (а не вашего).
взял бюллетень - фактически работник может взять бюллетень, только после его закрытия, то есть указания в нем даты окончания заболевания (или даты выздоровления), поэтому данное выражение хоть все и понимают, что оно подразумевает "работник заболел", но по сути оно обозначает, что работник выздоровел и после какого-то периода заболевания он взял (забрал) бюллетень.
Поэтому эти дополнительно указанные вами выражения в официальном делопроизводстве и официальных приказах не используются. Вернее их использование в официальном делопроизводстве будет неграмотно и не корректно.