Question

В прямоугольном треугольнике провели высоту из прямого угла,эта высота разбила гипотенузу на 2 отрезка,докажите что отношение кубов этих отрезков равно отношению квадратов их проекций на катеты: x1^3/x2^3=x1'^2/x2'^2

Answer 1

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ , с прямым углом $C=90а$
Обозначим $AC=a\\ BC=b$ $AB=\sqrt{a^2+b^2}$.   
Проведем высоту $CH$ , опустим из точки $H$ перпендикуляры $HA_{1};HB_{1}$ , на $a;b$  соответственно. 
Тогда высота $CH=\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$. 
Найдем $x_{1};x_{2}$ 
 Из прямоугольных треугольников образовавшиеся при проведении высоты $CH$, по теореме Пифагора    получим 
$x_{1}=\sqrt{a^2-(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}\\ x_{2}=\sqrt{b^2-(\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}})^2}=\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 
Найдем  $x'_{1};x'_{2}$  
Так же $A_{1}H;B_{1}H$ высоты меньших прямоугольных треугольников  
$A_{1}H=\frac{\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{a}=\frac{a^2b}{a^2+b^2}\\ B_{1}H=\frac{\frac{b^2}{\sqrt{a^2+b^2}}*\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}}{b}=\frac{b^2a}{a^2+b^2}\\\\\\ x_{1}'=\sqrt{\frac{a^4}{a^2+b^2}-\frac{a^4b^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{a^3}{a^2+b^2}\\ x_{2}'=\sqrt{\frac{b^4}{a^2+b^2}-\frac{b^4a^2}{(a^2+b^2)^2}}=\frac{b^3}{a^2+b^2}\\\\ \frac{x_{1}^3}{x_{2}^3}=\frac{a^6}{b^6}\\\\ \frac{x_{1}'^3}{x_{2}'^3}=\frac{a^6}{b^6}$