Question

Найдите радиусы окружностей описанного около равнобедренного треугольника с основанием а и боковой стороной b и вписанной в него

Answer 1

Пусть А - вершина в месте пресечения боковых сторон.
Опустим перпендикуляр АМ на основание (он будет и медианой стороны а и биссектрисой угла А).
Из середины стороны в восстановим перпендикуляр до пересечения с высотой АМ в точке О - это центр описанной окружности. Из точки О опустим перпендикуляр ОК на сторону в. В полученном треугольнике ОКС угол КОС равен углу В (как половина центрального угла, равного вписанному углу 2В).
По теореме косинусов cos B = (b²+a²-b²) / 2ab = a / 2b.
sin B = √(1-cos²B) = √(1-( a / 2b.)²) = √(1-a²/4b²).
Из треугольника ОКС (где ОС=R) находим  b/2R = sin B.
Тогда R = b² / √(4b²-a²).
Для определения радиуса вписанной окружности из вершины С проведем биссектрису СО₂. Точка О₂ - центр вписанной окружности.
r = (a/2)*tg (C/2).
Используя формулу tg(C/2) = +-√((1-cos C) / (1 + cos C)), находим:
r = (a/2)*√((2b-a) / (2b+a)).