Чтобы правильно определить суффикс в приведенном прилагательном, посмотрим на морфемный состав слова.
Построим с этой целью словообразовательную цепочку: забы/ть => забы/ва/ть => забы/в/чив/ый. В каждом слове этой цепочки выделены все морфемы. Видно, что помимо корня "забы-" в рассматриваемом слове присутствует суффикс (и не один).
Но интересует правописание второго суффикса "-чив-". В отличие от суффикса "-ив-/-ев-", правописание которого зависит от ударения, суффикс "-чив-", как правило, всегда безударный, и пишется он только через гласную "и".
Этот суффикс не имеет пары в виде суффикса "-чев-", он -- единообразный суффикс.
Например: обидчивый, опрометчивый, настойчивый, застенчивый, улыбчивый, усидчивый и т.п.
И прилагательное заданное так же правильно писать -- забывчивый.
Правописание суффикса "-чив-" необходимо просто запомнить.
С возрастом бабушка становится все более забывчивой, но мы понимаем и прощаем ей её забывчивость.