В условии задачи не хватает длины стороны АВ.
Решим задачу для АВ = 4√2.
Проведем высоту ВН.
ΔАВН: ∠АНВ = 90°, ∠ВАН = 45°, значит треугольник равнобедренный,
ВН = АН = х. По теореме Пифагора
x² + x² = (4√2)²
2x² = 32
x² = 16
x = 4
ВН = 4.
Sabcd = (AD + BC)/2 · BH
Sabcd = (13 + 7)/2 · 4 = 40 кв. ед.
№1. Расм. Δ AOB и ΔDOC:
1) AO = OD(по усл.)
2) <BOA = < COD ( как вертикальные углы)
3) < BAO = <CDO ( как смежные с <1 =<2)
Значит, Δ AOB = ΔDOC (по стороне и прилежащим к ней углам)
№3 Расм. 2 образовавшихся Δ
1)Т.к высота делит < пополам, то <1=<2 (<=<1+<2)
2)Т.к высота, то <3=<4 =90 °
3) Высота - общая сторона
Значит, 2 образовавшихся Δ равны
№2 Проведём диагональ BD
Δ ABD = Δ BCD ( по 3 сторонам: AB= CD, BC = AD, BD -общая сторона)
Из этого следует, что <A = < C.
Площадь трапеции равна
S=1/2(а+в)h
Если провести прямые под 90 градусов от точек B и С к нижнему основанию AD, то получится 2 прямоугольных треугольника (ABB1 и DCC1)
Эти треугольники равны(Трапеция равнобедренная) =>BB1=CC1
Т.е. AB1=CD1=5 см( 1/2 от остатка после вычетания нижнего основания из верхнего)
По теореме Пифагора
BB1²=13²-5²
BB1²=144
BB1=12 см - высота трапеции
S=1/2(10+20)*12=180 см²
А) "Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости и не имеют общих точек или другими словами это две прямые в пространстве, не имеющие общих точек, и не являющиеся параллельными." Прямые АК и ВС1 - скрещивающиеся.
"Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым".
Диагональ АD1 параллельна диагонали ВС1. Значит искомый угол - <D1AK. Поскольку АС=АD1=D1C (диагонали граней), то треугольник АD1С - равносторонний и АК - биссектриса угла D1AC=60°.
Значит искомый угол между прямыми ВС1 и АК равен 30°
б) Перенесем В1D параллельно так, чтобы точка В1 совпала с точкой А1.
А1М = а√3 (А1М=В1D - диагональ куба)
МР=√(4а²+а²)=а√5 (так как МС=2а, СР=а, поскольку СК1 - средняя линия тр-ка АВР).
АК1=√(а²/4+а²)=а√5/2 (По Пифагору из прямоугольного треугольника АК1D)
А1К=√(а²/4+5а²/4)=а√6/2 (По Пифагору из прямоугольного треугольника А1КН)
А1Р=2*А1К=а√6. (Поскольку КК1 - средняя линия тр-ка АА1Р).
По теореме косинусов:
Cosα=(А1М²+А1Р²-МР²)/2*А1М*А1Р.
Cosα=(3а²+6а²-5а²)/2*а√3*а√6 = 4а²/6а²√2 = √2/3.
Значит угол равен ≈62°.
Координатный метод:
Привяжем к кубу систему координат. Поскольку искомые углы не зависят от размера куба, пусть его стороны равны 2. Тогда имеем точки В1(0;2;0), D(2;0;2), A1(0;2;2) и K(2;1;1).
Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{Xb-Xa;Yb-Ya;Zb-Za}.
Тогда вектор B1D{2;-2;2}, вектор А1К{2;-1;-1}.
Угол α между вектором a и b вычисляется по формуле:
cosα=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/[√(x1²+y1²+z1²) * √(x2²+y2²+z2²)].
В нашем случае: cosα= (4+2-2)/[√(4+4+4)*√(4+1+1)] или
cosα= 4/6√2=2/3√2=√2/3. Значит угол равен ≈62°.
Смежный угол 52 градусов равен 128 , а сумма углов 4хугольника равна 360
360-90-90-128=52
ответ 52
