Корень квадратный на множестве комплексных чисел есть двузначная функция, в отличие от множества действительных чисел, где под квадратным корнем часто понимается арифметический квадратный корень, имеющий единственное значение и потому являющийся функцией в строгом смысле этого слова. Дело в удобстве применения понятия "арифметический квадратный корень" на множестве действительных чисел по сравнению с понятием "квадратный корень", которое тоже существует, и которое является двузначной функцией. На множестве действительных чисел арифметический квадратный корень не может быть отрицательным.
Поэтому строгий ответ на вопрос "может ли квадратный корень в поле комплексных чисел принимать отрицательное значение", ответ такой. Квадратный корень из любого комплексного числа имеет два значения (в случае, если под корнем 0, то можно считать, что оба значения квадратного корня равны друг другу). Одно из этих значений может быть отрицательным действительным числом. Получается, что формально, ответ: "да, может".
Пример. Уравнение x^2 = 1 имеет два корня: 1 и -1, поэтому квадратный корень из 1 имеет два значения. Одно из них - отрицательное действительное число -1. В общем случае квадратный корень из a, где a - положительное действительное число имеет два значения. Одно из них - положительное, другое - отрицательное. Если a - любое другое комплексное число, то ни одно значение квадратного корня из него не может быть отрицательным, поскольку оба значения являются комплексными числами, отличными от действительных, а такие числа не могут быть ни положительными, ни отрицательными (кроме случая, когда a = 0 и оба значения квадратного корня равны 0 - числу, не являющемуся отрицательным).
Если, как и в случае с множеством действительных чисел, попытаться построить понятие арифметического квадратного корня на множестве комплексных чисел, который уже будет иметь только одно значение, то удобно это сделать следующим образом. Если комплексное число z представить в тригонометрической форме: z = r*(cos ф + i*sin ф), то как известно, два значения квадратного корня из него вычисляются так. Модуль обоих значений корня равен корню из r, а аргументом для первого значения корня является число ф/2, а для второго - ф/2 + п. Если под ф понимается главное значение аргумента, которое лежит в промежутке (-п; п], то видно, что аргумент первого значения квадратного корня лежит в промежутке (-п/2; п/2], а второго - в промежутке (п/2; 3п/2] или, если считать главное значение, в промежутке (п/2; п] U (-п; 3п/2), т.е. первое значение квадратного корня лежит в первой и четвёртой четвертях комплексной плоскости, а второе - во второй и в третьей. Удобно в качестве арифметического значения квадратного корня взять такое значение, которое лежит в первой и четвёртой четвертях комплексной плоскости, т.е. главное значение его аргумента принадлежит промежутку (-п/2; п/2]. Тогда это общее понятие арифметического квадратного корня на множестве комплексных чисел будет включать и понятие арифметического квадратного корня на множестве действительных чисел.
Тогда можно будет ответить на вопрос: "может ли арифметический квадратный корень (который часто для краткости называют просто квадратным корнем или ещё короче - корнем) в поле комплексных чисел принимать отрицательное значение?". Ответ - "нет, не может". Поскольку комплексные числа, отличные от действительных, не могут быть ни положительными, ни отрицательными. Если комплексное число является отрицательным, то это - отрицательное действительное число, которое имеет главное значение аргумента ф, которое не входит в промежуток главных значений аргумента арифметического квадратного корня (-п/2; п/2], согласно нашему определению. Поэтому значение арифметического квадратного корня из комплексного числа не может быть отрицательным.
