Надо же! 8 человек пытались отвечать, и ни один не сумел решить простенькое тригонометрическое уравнение. До чего докатилось наше образование?
sin(2*x)=sin(x)+cos(x)-1, (аргумент любой функции лучше брать в скобки, тогда не будет неоднозначных записей. Кроме того, я не опускаю (не пропускаю) как обычно принято в алгебре знак умножения, но если Вы не хотите его писать, то можете не писать.)
2*sin(x)*cos(x)+1-sin(x)-cos(x)=0,
2*sin(x)*cos(x)+sin^2(x)+cos^2(x)-sin(x)-cos(x)=0,
((sin(x)+cos(x))^2-(sin(x)+cos(x)=0,
(sin(x)+cos(x))^2-(sin(x)+cos(x))=0,
Заменим sin(x)+cos(x)=y,
Получаем: y^2-y=0
y*(y-1)=0,
Два решения: y=0 и y=1.
Делаем обратную замену:
Первая серия решений:
sin(x)+cos(x)=0, показываем, что ни sin(x)=/=0, ни cos(x)=/=0, тогда можем разделить обе части уравнения либо на sin(x), либо на cos(x), получаем:
tg(x)+1=0,
tg(x)=-1,
x(1)=-Пи/4+Пи*k, где k - любое целое число.
Вторая серия решений:
sin(x)+cos(x)=1,
sin(x)+cos(x)-1=0,
sin(x)-(1-cos(x))=0,
2*sin(x/2)*cos(x/2)-2*sin^2(x/2)=0,
2*sin(x/2)*(cos(x/2)-sin(x/2))=0,
Уравнение распадается на два уравнения:
2*sin(x/2)=0, откуда х/2=Пи*m, и х(2)=2*Пи*m, где m - любое целое число
и cos(x/2)-sin(x/2)=0, откуда tg(x/2)=1, x/2=Пи/4+Пи*c, х(3)=Пи/2+2*Пи*с, где с- любое целое число.
Итак:
x(1)=-Пи/4+Пи*k, где k - любое целое число,
х(2)=2*Пи*m, где m - любое целое число,
х(3)=Пи/2+2*Пи*с, где с- любое целое число.
Для разных х любое целое число обозначено разными буквами, так как они между собой никак не связаны и независимы друг от друга.
Что касается неравенства, то многие решили его правильно: x > -11/18.