Достаточно знать длину бокового ребра пирамиды, количество сторон многоугольника, лежащего в основании пирамиды, а также длину стороны основания (сторону многоугольника).
В основании правильной пирамиды всегда лежит правильный многоугольник. Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность.
Есть такая формула:
a — длина стороны n-угольника (для правильного многоугольника).
L - длина окружности, описывающей этот многоугольник.
n - это количество сторон этого многоугольника
Если выразить эту формулу наоборот, то можно по стороне многоугольника найти длину окружности.
L=a*π/sin(180/n)
Зная длину окружности, можно найти радиус этой окружности:
L=2πR
R=L/(2π)
Подставляя L из первой формулы, получаем:
R = L/(2π) = a*π/(2π*sin(180/n)) = a/(2sin(180/n))
Теперь если приглядитесь к рисунку, то увидите, что радиус описанной окружности является также и катетом в прямоугольном треугольнике (игреком "y" на левой картинке).
А вертикальное ребро пирамиды это гипотенуза этого прямоугольного треугольника.
А искомая нам высота это второй катет этого прямоугольного треугольника.
По теореме Пифагора:
<h2>X²=Y²+h²</h2>
<h2>h²=X²-Y²</h2>
<h2>h=√(X²-Y²)</h2>
X нам известен - это длина боковой стороны пирамиды.
Y тоже известен - это расстояние от одного из углов основания пирамиды до центра пирамиды, и это же радиус описанной вокруг этого многоугольника окружности.
Y=R, а R равен: R=a/(2sin(180/n))
Итак подведём итог:
<h2>h=√(X²-Y²) = √(X²-R²) = √(X²-(a/(2sin(180/n)))²)</h2>
X - размер боковой стороны (ребра) пирамиды.
n - количество сторон многоугольника в основании.
a - размер стороны этого многоугольника в основании.
Более удобно эту формулу я отразил на рисунке.