Раз наш участок можно будет огородить забором в 300 метров, то его периметр не должен превышать 300.
Пусть
и
- две стороны нашего участка, тогда
.
Площадь прямоугольника - произведение двух смежных его сторон.
Составим функцию площади нашего участка в зависимости, например, от стороны
.
![S(x)=xa](https://tex.z-dn.net/?f=S%28x%29%3Dxa)
Но
, следовательно, наша функция принимает вид
![S(x)=x\left(150-x\right)\medskip\\S(x)=150x-x^2](https://tex.z-dn.net/?f=S%28x%29%3Dx%5Cleft%28150-x%5Cright%29%5Cmedskip%5C%5CS%28x%29%3D150x-x%5E2)
С помощью производной найдём экстремум данной функции.
![S'(x)=150-2x\medskip\\S'(x)=0\medskip\\150-2x=0\medskip\\2x=150\medskip\\x=75](https://tex.z-dn.net/?f=S%27%28x%29%3D150-2x%5Cmedskip%5C%5CS%27%28x%29%3D0%5Cmedskip%5C%5C150-2x%3D0%5Cmedskip%5C%5C2x%3D150%5Cmedskip%5C%5Cx%3D75)
Т.к. исходная функция - парабола с опущенными вниз ветвями, то данная точка - максимум функции. Следовательно, при условии периметра в 300 метров, для достижения наибольшей площади участка одна из сторон должна быть равна 75 метров, значит, другая сторона также должна быть 75 метров (
).
Получаем максимальную площадь
квадратных метров.
Ответ.
кв. м.