Question

Докажите, что если для целых чисел x, y число x^2+3xy+y^2 делится на 25, то x и y делятся на 5. СРОЧНО ПОЖАЛУЙСТА, с решением

Answer 1

Пусть x²+3xy+y²=25k, где k - некоторое целое число. Тогда это уравнение можно переписать как (2х+3y)²-5y²=100k или (2х+3y)²=5(20k+y²). Отсюда видно, что (2х+3y)² делится на 5, а значит и 2х+3y делится на 5, т.е. 2х+3y=5n при некотором целом n. Тогда уравнение имеет вид 25n²-5y²=100k, т.е. 5n²-y²=20k, откуда опять следует, что y² делится на 5, т.е. у делится на 5. Отсюда и из соотношения 2х+3y=5n cледует, что 2х делится на 5, т.е. и х делится на 5.