Набросал вот рисунок от руки приблизительный. Еще можно несколькими способами найти центр, но лень мне геометрию вспоминать, старый я и ленивый. Как-то там с треугольниками можно найти, с углами тоже. В общем, способов масса.
Прямоугольный треугольник можно представить себе как половинку квадрата или прямоугольника и тогда гипотенуза этого треугольника суть диагональ прямоугольника. Диагональ прямоугольника всегда больше любой его стороны, хотя эта прямая и есть кратчайшее расстояние соединяющее две противоположные вершины. Любой катет в отдельности короче гипотенузы, но в сумме они больше ее, ведь они соединяют эти вершину уже не по прямой, но ломаной линии. Для треугольников есть одно интересное правило, что сторона, которая лежит против самого большого угла всегда самая длинная, а в прямоугольном треугольнике угол между катетами наибольший - 90 градусов.
Вспоминаем школьный курс геометрии. Чтобы треугольник существовал, длина каждой его стороны должна быть меньше, чем сумма длин двух остальных сторон. Проверяем, взяв за пример самую длинную сторону нашего треугольника. Получаем: 2 + 3 = 5. Пять больше четырех - таким образом, данный треугольник существует.
Для олимпиады это несложная задача. Раз уж треугольник прямоугольный, то один из его углов равен 90°. Пусть а – длина одного из катетов. Это известная величина. Обозначим через х неизвестную длину второго катета и у – длина гипотенузы (тоже неизвестная величина). Длина второго известного отрезка d равна сумме длин второго катета и гипотенузы d = х + у. Отсюда выразим длину гипотенузы через длину второго катета и известной величины d:
у = d – х (1)
Еще раз повторю, что величины d и а мы знаем. Неизвестны х и у. То есть в уравнении (1) две неизвестные величины. Надо еще одно уравнение, чтобы найти 2 неизвестные величины. Так как треугольник прямоугольный, то используем теорему Пифагора, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. То есть, а² + х² = у² или
у² - х² = а² (2)
Итак, получили 2 уравнения (1) и (2) с двумя неизвестными х и у. Из уравнения (1) величину у подставим в уравнение (2). Имеем (d – х)² - х² = а². Вычисляем d² - 2dх + х² - х² = а². То есть d² - 2dх = а². Отсюда находим неизвестную величину х = (d² - а²)/2 d. Подставляем это выражение в уравнение (1) и находим у = d – х = d - (d² - а²)/2 d. Итак, мы вычислили величину второго катета и гипотенузы через известные величины
х = (d² - а²)/2d (3)
у = d – х = d - (d² - а²)/2d (4)
Проверим эти формулы. Пусть а = 3 и d = 9. Из формулы (3) находим х = 4 (это длина второго катета) и у = 5 – это длина гипотенузы.
У одного треугольника может быть либо одна гипотенуза, либо ни одной. В случае если треугольник прямоугольный, то есть один из его углов равен 90 градусов, тогда гипотенузой будет называться сторона ему противоположная. Если же треугольник не прямоугольный, то гипотенуз у него нет. Ну а исходя из данных вариантов, ответ - одна.