Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
<em>1.</em> ∠(КА; АВС)
КА - наклонная к АВС, ВА - ее проекция, ⇒
∠(КА; АВС) = ∠КАВ = 45°, так как ΔКАВ прямоугольный равнобедренный.
Ответ: ∠(КА; АВС), вершина угла - А.
<em>2.</em> ∠(КМ; АВС)
КМ - наклонная к АВС, ВМ - ее проекция, ⇒
∠(КМ; АВС) = ∠КМВ
ВМ = а√3/2 как медиана равностороннего треугольника,
ΔKMB: tg∠KMB = KB / BM = a / (a√3/2) = 2/√3 = 2√3/3
∠KMB = arctg (2√3/3)
Ответ: ∠(КМ; АВС) = arctg (2√3/3), вершина - М.
<em>3.</em> ∠(СА; МВК)
ВМ⊥СА как медиана и высота равностороннего треугольника,
КВ⊥СА, так как КВ перпендикуляр к плоскости АВС, СА лежит в АВС,
значит СА⊥МВК, т.е.
∠(СА; МВК) = 90°.
Ответ: ∠(СА; МВК) = 90°, вершина - М.
<em>4</em>. ∠(ВА, ВМК)
АМ⊥МВК (доказано выше), значит ВМ - проекция ВА на МВК, тогда
∠(ВА; ВМК) = ∠АВМ = 30°, т.к. в прямоугольном треугольнике АВМ катет АМ в два раза меньше гипотенузы АВ.
Ответ: ∠(ВА; ВМК) = 30°, вершина В.
<em><u>5. </u></em>∠(МВ; АСК)
Проведем ВН⊥КМ.
АС⊥ВМК (доказано выше), ⇒ АС⊥ВН, тогда
ВН⊥АСК.
Значит НМ - проекция МВ на плоскость АСК, тогда
∠(МВ; АСК) = ∠ВМН или ∠KMB = arctg (2√3/3) (из п. 2)
Ответ: ∠(МВ; АСК) = arctg (2√3/3). вершина М.
