В прямоугольном треугольнике МОС ищем ОС=2/3СК.
Это выглядит вот так /_
/
Внутренний угол при вершине В можно найти из теоремы косинусов
cos(β) = (AB² + BC² - AC²)/(2*AB*BC)
cos(β) = ((1² +9²+5²) + (2²+5²+3²) - (1²+4²+3²))/(2*√(1² +9²+5²)*√(2²+5²+3²))
cos(β) = ((1+81+25) + (4+25+9) - (1+16+9))/(2*√(1+81+25)*√(4+25+9))
cos(β) = (107 + 38 - 26)/(2*√107*√38) = 119/(2√4066)
внешний угол
180 - β = 180° - arccos(119/(2√4066)) ≈ 158,93°
<em>В основании пирамиды DABC лежит прямоугольный треугольник ABC, угол C=90°, угол А=30°, BC=10. Боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами. Высота пирамиды равна 5. <u>Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.</u></em>
Если боковые реба пирамиды наклонены к плоскости основания под равными углами, то <u>вокруг основания можно описать окружность</u>, и основание высоты пирамиды находится в центре этой окружности.
<u>Центр О </u>описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности <u>лежит в середине его гипотенузы. </u>
Катет ВС=10, противолежит углу 30°, след. гипотенуза
АВ=2*10=20
Площадь боковой поверхности пирамиды - сумма площадей его граней,
площадь каждой из них найдем по формуле
<em>S=ah.</em>
Для грани, основанием которой является гипотенуза, высота равна 5.
<em>S Δ ADB</em>=DO*AB:2=5*20:2=<em>50</em>
Для треугольника CDB высота
DK²=DO²+OK²
ОК=АС:2
АС=АВ*sin (60)=10√3
ОК=5√3
DK=√(25+ 75)=<em>10</em>
<em>S ΔCDB</em>=10*10:2=<em>50</em>
<span><span>Для АDC высота
DM²=DO²+OM²=√50=5√2
</span><span><em>S ADC</em>=AC*DM:2=<em>25√6</em>
</span>Площадь боковой поверхности пирамиды
<em>Sбок DАВС</em>=S ADB+SCDB+S ADC=<em>100+25</em><span><em>√6 </em></span>
</span>
<u>Ответ</u>: 12 см
<u>Объяснение</u>: Полушар касается изнутри боковой поверхности конуса.
Нарисуем <u>осевое сечение конуса</u> – равнобедренный треугольник АВС с боковыми сторонами – образующей АВ, основанием – диаметром АС, высотой ВО, и вписанной полуокружностью с центром О и точкой касания с образующей Н.
Высота ВО делит этот треугольник на равные прямоугольные треугольники. По т.Пифагора <em>радиус</em> <em>основания</em> конуса АО= √(АВ²-ВО²)=√(25²-20²)=15. Тогда радиус полушара ОН- высота ⊿ ВОА. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. ОН=ВО•АО:АВ=20•15:25=12 см
