Решение
Площадь боковой поверхности призмы равна
произведению ее высоты на периметр основания. <span>
Сумма
углов при одной стороне параллелограмма равна 180°
<span><span>Следовательно,
< АВС = 180° - 30° = 150°
</span>Пусть АВ = 4см</span>
<span>ВС = 4√3 см
Найдем по теореме косинусов диагональ
основания АС.</span></span>
<span><span>АС² = АВ² + ВС²
- 2*АВ*ВС* cos (150°)
</span>косинус тупого угла - число отрицательное. </span>
АС² = 16 + 48 + [32√3*(√3)]/2=112
АС = √112 = 4√7
Высота
призмы
<span><span>СС</span></span>₁ <span><span>= АС / ctg(60°)=(4√7) / 1/√3
</span>CC</span>₁ <span>= 4√21</span>
Площадь
боковой поверхности данной призмы
<span>S = H*P = 4√21*2(4+4√3) = 32√21*(1+√3)
см²
</span><span>Ответ: </span><span> </span><span>32√21*(1+√3) см²</span><span> </span>
Использовано: признак перпендикулярности прямой к плоскости, теорема Пифагора, признак подобия треугольников, свойство сторон подобных треугольников, формула площади прямоугольника. АВ перпендикулярно MN (по построению), АВ перпендикулярно боковому ребру (т.к. призма прямая). Значит, АВ перпендикулярно желтому прямоугольнику (по признаку перпендикулярности прямой к плоскости). То есть, желтый прямоугольник искомое сечение. Треугольники АВС и MBN -именно они подобны. Причина их подобия названа в приложении
Теорема - свойство биссектрисы треугольника.
Если <em>AA</em><em>1</em> - биссектриса внутреннего угла <em>A</em> треугольника <em>ABC</em>, то
ВА*/А*С= ВА/ АС .
Иными словами, биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные заключающим ее сторонам.
<em>Доказательство.</em>Проведем через <em>B</em> прямую, параллельную <em>AC</em>, и обозначим через <em>D</em> точку пересечения этой прямой с продолжением <em>AA<em>1</em></em> .
Согласно свойству параллельных прямых имеем <span>Ð</span><em>BDA</em> = <span>Ð</span><em>CAD</em>. Так как <em>AA</em><em>1</em> - биссектриса, то <span>Ð</span><em>CAD</em> = <span>Ð</span><em>DAB</em>. Итак, <span>Ð</span><em>BDA</em> =<span>Ð</span><em>DAB</em>, потому <em>BD</em> = <em>BA</em>.
Из подобия треугольников <em>CAA</em><em>1</em> и <em>BDA</em><em>1</em> (по второму признаку <span>Ð</span><em>BDA</em><em>1</em> = <span>Ð</span><em>CAA</em><em>1</em> , <span>Ð</span><em>BA</em><em>1</em> <em>D</em> = <span>Ð</span><em>CA</em><em>1</em><em>A</em>) получаем ВА*/А*С =ВD/АС =ВА/АС , что и требовалось доказать.
Заметим, что можно было бы с тем же успехом провести через <em>B</em> прямую, параллельную биссектрисе <em>AA</em><em>1</em>,до пересечения в точке <em>E</em> с продолжением <em>CA</em> . Тогда <em>EA</em> = <em>AB</em> и СА /АЕ =СА/АВ .
Cos 45=AC/AB, AC=5*sqrt(2)*sqrt(2)/2=5,CB=AC=5( треугю равнобедр.)
