Если забыть про условие задачи и поступить так - провести через выбранную точку Р на AD плоскость II DBC. Точки пересечения АВ и АС с этой плоскостью обозначим M1 и N1. Легко показать, что прямая РN1 II DC (если бы это было не так, то у параллельных по построению плоскостей DBC и PM1N1 была бы общая точка), и отношение <span>AN1 : N1C = AP : PD по свойству параллельных прямых в плоскости (это свойство - что параллельные прямые отсекают пропорциональные отрезки у любых секущих). В плоскости ADC через точку Р можно провести ТОЛЬКО одну прямую II DC, поэтому прямая PN1 совпадает с прямой PN (точка N задана в задаче). Точно так же доказывается, что PM1 II DB и совпадает с прямой РМ (точка М задана в задаче). </span>
<span>Итак, получилось, что плоскость, параллельная DBC, проходящая через точку P, содержит точки M и N (или можно сказать - две проходящие через Р несовпадающие прямые MP и NP). Поскольку через 3 различных точки (или можно сказать - через 2 несовпадающие пересекающиеся прямые) можно провести ТОЛЬКО одну плоскость, то утверждение задачи доказано.</span>
№7.
ΔАВС - прямоугольный :
∠В= 45° , ∠С=90° ⇒ ∠А= 180° - (45+90)= 45° - углы при основании равны. ⇒ ΔАВС - еще и равнобедренный. ⇒
АВ=ВС , высота СD- медиана и биссектриса.⇒ делит ∠С пополам.
∠АСD=∠DCВ=90/2 = 45°. ⇒
ΔСDВ - равнобедренный : СD=DB=8 см
ΔАDC - равнобедренный : СD= AD=8 см
АВ= АD+DВ= 8+8=16 см
№8.
1) ΔЕВС - прямоугольный:
∠С=90°, ∠Е =60° ⇒∠В= 180 - (90+60) = 30°
2) ΔАВС - прямоугольный , т.к.∠С=90°, ЕС = 7 - по условию
Катет лежащий против угла в 30° равен половине гипотенузы:
ЕС= 1/2 ЕВ ⇒ ЕВ = 2ЕС ⇒ ЕВ= 7*2=14
3) По теореме Пифагора:
ВС²+ЕС²= ЕВ² ⇒ ВС= √ (ЕВ²-ЕС²)
ВС= √(14²-7²) =√147 = √(3*49) = 7√3
ΔАВС- прямоугольный, ∠С=90°, ∠А=30°
АВ = 2ВС ⇒ АВ= 2 *7√3= 14√3
АВ²= ВС²+АС² ⇒ АС²= АВ²-АС²
АС²= (14√3) ²- (7√3)² =588-147=441
АС = √441 = 21
АЕ= АС-ЕС=21-7= 14
или
3) ΔАВЕ :
∠Е=180-60=120° , т.к. смежный
∠В = 180 - (30+120) =30° - углы при основании равны
⇒ΔАВЕ - равнобедренный с основанием АВ⇒
ВЕ=АЕ = 14
Ответ: АЕ=14
№9.
ΔАВС- равнобедренный , т.к. АВ=ВС - по условию.
О - точка пересечения высот АD и СЕ.
ΔАВD=ΔВЕС
АВ=ВС - по условию.
∠Е=∠D=90° , т.к. смежные с углами в 90°.
∠В - общий
⇒ Если треугольники равны , то АD=СЕ. - доказано.
<4=20°, как вертикальный углу 20° (вертикальные углы равны).
Тогда <1=180°-130°-20°=30° (так как развернутый угол равен 180°).
<2=130° как вертикальные.
Ответ: <1=30°? <2=130°.