<span><span>Я не нашел "школьного" решения, но уж
то, </span>что нашел, приведу.<span>
Пусть
начало координат расположено в середине АС, и ось Z проходит через точку S, а
ось Y - через точки С и А. Положение точки В составляет суть задачи.
<span>Я
полагаю координаты точки С(0,-a, 0), где а - неизвестная величина (половина
длины стороны основания). Ясно, что sin(α/2) = a/b; где α</span> –
искомый угол </span>ASC; то есть найдя а, найдется и α;</span><span>Тогда координаты А (0,а,0) S(0,0,√(b^2 - a^2))<span>
Для
начала надо составить уравнения сфер, на которых заведомо лежит точка В.
<span>Сфера,
касающаяся плоскости SAC, то есть плоскости x = 0; имеет радиус b/2; центр лежит на перпендикуляре из точки С к плоскости x = 0; то есть
на прямой II оси X. Уже можно записать формулу</span>
(x -
b/2)^2 + (y + a)^2 + z^2 = (b/2)^2;
<span>Вторая
сфера, на которой заведомо лежит точка В - это сфера с центром в точке С и
радиусом в 2*а. На этой же сфере лежит точка А. Это утверждение означает всего
лишь то, что расстояние от В до С равно 2*а, что совершенно очевидно, поскольку
в основании пирамиды правильный треугольник. </span>
x^2 +
(y + a)^2 + z^2 = (2*a)^2;
<span>Аналогичное
условие можно было бы записать и для точки А, уравнение отличалось бы знаком в
слагаемом с y: (y - a) вместо (y + a); Но есть очевидное условие, которое это делает ненужным. </span></span></span><span><span>Но сначала - третья сфера, уравнение которой
просто означает, </span>что расстояние от В до S равно b;<span>
x^2 +
y^2 + (z - √(b^2 - a^2))^2 = b^2;
<span>У нас
есть 3 уравнения, которые надо решать совместно. Первое, и самое
сильное упрощение состоит в том, что заведомо y = 0; Совершенно очевидно, что
точка В должна лежать на плоскости XZ, поскольку она равноудалена от точек А и
С. Поэтому уравнения упрощаются</span></span></span>
(x - b/2)^2 + a^2 + z^2
= (b/2)^2;
x^2 + a^2 + z^2 =
(2*a)^2;
x^2 + (z - √(b^2 -
a^2))^2 = b^2;
если немного преобразовать, получается
<span>x^2 –b*x + (b/2)^2 + a^2
+ z^2 = (b/2)^2; или<span> x^2 + z^2 = b*x – a^2;</span></span>
x^2 + z^2 = 3*a^2;
<span>x^2 + z^2 – 2*z*√(b^2
- a^2) + b^2 – a^2 = b^2; или<span> x^2 + z^2 = 2*z*√(b^2
- a^2) + a^2
</span></span><span>И теперь уже совсем просто – сначала x и z легко
выражаются через a;</span>
<span>x = 4*a^2/b; z = a^2/√(b^2 - a<span>^2) </span></span>
<span>остается подставить это во второе соотношение x^2 + z^2 = 3*a^2;</span>
<span>(4*a^2/b)^2 + a^4/(b^2 –
a^2) = 3*a^2; или<span> 16*(a/b)^2 + (a/b)^2/(1 – (a/b)^2) = 3;
</span>с учетом<span> sin(</span>α/2) = a/b; получается</span>
<span>16*(sin(α/2))^2 + (sin(α/2))^2/(cos(α/2))^2 = 3;</span>
<span>Осталось заметить, что квадраты синуса и
косинуса половинных углов выражаются через косинус полного (sin(α/2))^2
= (1 – cos(α))/2; (cos(α/2))^2 = (1 +
cos(α))/2;</span>
Что приводит к окончательному уравнению
<span>4*x^2 + 2*x – 3 = 0; где
x = cos(α); x = (√13 –
1)/4;</span>
<span>Ответ α = arccos((√13 – 1)/4);</span><span> </span>
Прямоугольные треуг-ки ВНС и АН1С подобны по первому признаку подобия: два угла одного треуг-ка соответственно равны двум углам другого. В нашем случае углы АН1С и ВНС прямые, а угол С - общий. Для подобных треугольников можно записать отношение сходственных сторон:
ВН:АН1=10:12, k=5/6, СН:СН1=5:6, отсюда
CH1=6CH:5
В прямоугольном треуг-ке АН1С по теореме Пифагора находим АС:
АС²=AH1²+CH1²
Т.к. в равнобедренном треуг-ке АВС высота ВН, проведенная к основанию, является также и медианой, то СН=1/2АС, и выражение CH1=6CH:5 примет такой вид:
СН1=3АС:5.
Это значение для СH1 будем использовать в вычислении по теореме Пифагора:
АС²=12² + 9AC²/25
AC² - 9AC²/25=144
16AC²=3600
AC² = 225
AC=15 см
<span>S ABC = 1/2AC*BH=7,5*10=75 см</span>²
