![1)~ y'=(7x^5+3x^4- \frac{5}{7} x+4)'=35x^4+12x^3-\frac{5}{7} \\ \\ 2)~ y'=(-3 \sqrt{x} + \frac{1}{3} \cos x-0.5ctg x)'=- \frac{3}{2 \sqrt{x} } -\frac{1}{3} \sin x+\frac{1}{2\sin^2x}](https://tex.z-dn.net/?f=1%29~+y%27%3D%287x%5E5%2B3x%5E4-+%5Cfrac%7B5%7D%7B7%7D+x%2B4%29%27%3D35x%5E4%2B12x%5E3-%5Cfrac%7B5%7D%7B7%7D++%5C%5C+%5C%5C+2%29~+y%27%3D%28-3+%5Csqrt%7Bx%7D+%2B+%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5Ccos+x-0.5ctg+x%29%27%3D-+%5Cfrac%7B3%7D%7B2+%5Csqrt%7Bx%7D+%7D+-%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%5Csin+x%2B%5Cfrac%7B1%7D%7B2%5Csin%5E2x%7D+)
![3)~ y'=( \sqrt{x} (-2x+1))'= \frac{-2x+1}{2 \sqrt{x} } -2 \sqrt{x} = \frac{-6x+1}{2 \sqrt{x} }](https://tex.z-dn.net/?f=3%29~+y%27%3D%28+%5Csqrt%7Bx%7D+%28-2x%2B1%29%29%27%3D+%5Cfrac%7B-2x%2B1%7D%7B2+%5Csqrt%7Bx%7D+%7D+-2+%5Csqrt%7Bx%7D+%3D+%5Cfrac%7B-6x%2B1%7D%7B2+%5Csqrt%7Bx%7D+%7D+)
2) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функций:
а)
![y=-7\cos 3x+2\sin 5x-3](https://tex.z-dn.net/?f=y%3D-7%5Ccos+3x%2B2%5Csin+5x-3)
в точке с абсциссой <span>x0=п\3
</span>
Геометрический смысл производной. Производная<span> в точке x </span>0<span> равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в этой точке
</span>
![y'=(-7\cos 3x+2\sin 5x-3)'=21\sin 3x+10\cos 5x\\ \\ k=y'( \frac{\pi}{3} )=21\sin \frac{3\pi}{3} +10\cos \frac{5\pi}{3} =21\cdot 0+10\cdot(-0.5)=-5](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%28-7%5Ccos+3x%2B2%5Csin+5x-3%29%27%3D21%5Csin+3x%2B10%5Ccos+5x%5C%5C+%5C%5C+k%3Dy%27%28+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D+%29%3D21%5Csin+%5Cfrac%7B3%5Cpi%7D%7B3%7D+%2B10%5Ccos+%5Cfrac%7B5%5Cpi%7D%7B3%7D+%3D21%5Ccdot+0%2B10%5Ccdot%28-0.5%29%3D-5)
3. <span>Вычислите f'(п\6), если f(x)=2cosx+x^2-пx\3 +5
</span>
![f'(x)=(2\cos x+x^2- \frac{ \pi x}{3} +5)'=-2\sin x+2x-\frac{ \pi }{3} \\ \\ f'(\frac{ \pi }{6})=2\sin \frac{ \pi }{6}+2\cdot\frac{ \pi }{6}-\frac{ \pi }{3} =2\cdot0.5+\frac{ \pi }{3} -\frac{ \pi }{3} =1](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%282%5Ccos+x%2Bx%5E2-+%5Cfrac%7B+%5Cpi+x%7D%7B3%7D+%2B5%29%27%3D-2%5Csin+x%2B2x-%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C+f%27%28%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D%29%3D2%5Csin+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D%2B2%5Ccdot%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D+%3D2%5Ccdot0.5%2B%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D+-%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D+%3D1+++)
<span>
4. Производная от пути является скорость, т.е. s'(t) = v(t)
</span>
![v(t)=(t^4-t^2)'=4t^3-2t\\ \\ v(3)=4\cdot 3^3-2\cdot 3=102~ m/s](https://tex.z-dn.net/?f=v%28t%29%3D%28t%5E4-t%5E2%29%27%3D4t%5E3-2t%5C%5C+%5C%5C+v%283%29%3D4%5Ccdot+3%5E3-2%5Ccdot+3%3D102~+m%2Fs)
<span>
5. </span><span>Найдите все значения x, при которых выполняется неравенство f'<0, если f(x)=81x-3x^2
Производная функции: </span>
![f'(x)=(81x-3x^2)'=81-6x](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%2881x-3x%5E2%29%27%3D81-6x)
![f'(x)\ \textless \ 0\\ 81-6x\ \textless \ 0\\ \\ -6x\ \textless \ -81\\ \\ x\ \textgreater \ 13.5](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%5C+%5Ctextless+%5C+0%5C%5C+81-6x%5C+%5Ctextless+%5C+0%5C%5C+%5C%5C+-6x%5C+%5Ctextless+%5C+-81%5C%5C+%5C%5C+x%5C+%5Ctextgreater+%5C+13.5)
6. <span>составьте уравнение касательных к графику функции y=x^4+x^2-2 в точках его пересечения его с осью абсцисс. Найдите точку пересечения этих касательных
Найдем точки пересечения исходной функции с осью Ох:
</span>
![x^4+x^2-2=0](https://tex.z-dn.net/?f=x%5E4%2Bx%5E2-2%3D0)
<span>
Решая это уравнение как квадратное уравнение относительно x^2, получим корни
x</span>² = -2 - не удовлетворяет
<span>
x</span>² = 1 откуда x0 = ±1<span>
</span>
![y'=(x^4+x^2-2)'=4x^3+2x](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%28x%5E4%2Bx%5E2-2%29%27%3D4x%5E3%2B2x)
![y'(1)=4\cdot 1^3+2\cdot 1=4+2=6\\ y'(-1)=4\cdot(-1)^3+2\cdot(-1)=-4-2=-6](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%281%29%3D4%5Ccdot+1%5E3%2B2%5Ccdot+1%3D4%2B2%3D6%5C%5C+y%27%28-1%29%3D4%5Ccdot%28-1%29%5E3%2B2%5Ccdot%28-1%29%3D-4-2%3D-6)
<span>
Найдем теперь эти уравнения касательных
</span>
![f_1(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=6(x-1)+0=6x-6\\ f_2(x)=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0)=-6(x+1)=-6x-6](https://tex.z-dn.net/?f=f_1%28x%29%3Dy%27%28x_0%29%28x-x_0%29%2By%28x_0%29%3D6%28x-1%29%2B0%3D6x-6%5C%5C+f_2%28x%29%3Dy%27%28x_0%29%28x-x_0%29%2By%28x_0%29%3D-6%28x%2B1%29%3D-6x-6)
<span>
Приравнивая касательные, найдем точки пересечения касательных
</span>
![6x-6=-6x-6\\ 12x=0\\ x=0](https://tex.z-dn.net/?f=6x-6%3D-6x-6%5C%5C+12x%3D0%5C%5C+x%3D0)
<span>
(1;-6) - пересечение касательных. (см. рисунок).
7. </span><span>Найдите все значения х, при которых выполняется неравенство f'=0, если f(x)=cos2x+x√3 и x э [0;4п]
</span>
![f'(x)=(\cos 2x+x \sqrt{3} )'=-2\sin2x+\sqrt{3} =0\\ \\ \sin2x=\sqrt{3} /2\\ \\ 2x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{3}+ \pi k,k \in \mathbb{Z} \\ \\ x=(-1)^k\cdot \frac{\pi}{6}+ \frac{\pi k}{2} ,k \in \mathbb{Z}](https://tex.z-dn.net/?f=f%27%28x%29%3D%28%5Ccos+2x%2Bx+%5Csqrt%7B3%7D+%29%27%3D-2%5Csin2x%2B%5Csqrt%7B3%7D+%3D0%5C%5C+%5C%5C+%5Csin2x%3D%5Csqrt%7B3%7D+%2F2%5C%5C+%5C%5C+2x%3D%28-1%29%5Ek%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B3%7D%2B+%5Cpi+k%2Ck+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+%5C%5C+%5C%5C+x%3D%28-1%29%5Ek%5Ccdot+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B6%7D%2B++%5Cfrac%7B%5Cpi+k%7D%7B2%7D+%2Ck+%5Cin+%5Cmathbb%7BZ%7D+)
<span>
Отбор корней из x </span>∈ [0;4π]
![k=0;~~ x= \frac{ \pi }{6} \\ \\ k=1;~~ x=-\frac{ \pi }{6} +\frac{ \pi }{2} =\frac{ -\pi+3 \pi }{6} =\frac{ \pi }{3} \\ \\ k=2; ~~x=\frac{ \pi }{6} + \pi =\frac{ 7\pi }{6} \\ \\ k=3; ~~ x=-\frac{ \pi }{6} +\frac{ 3\pi }{2} =\frac{ 4\pi }{3} \\ \\ k=4;~~ x=\frac{ \pi }{6} +2 \pi =\frac{ 13\pi }{6}](https://tex.z-dn.net/?f=k%3D0%3B~~+x%3D+%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D+%5C%5C+%5C%5C+k%3D1%3B~~+x%3D-%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D+%2B%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B2%7D+%3D%5Cfrac%7B+-%5Cpi%2B3+%5Cpi++%7D%7B6%7D+%3D%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C+k%3D2%3B+~~x%3D%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D+%2B+%5Cpi+%3D%5Cfrac%7B+7%5Cpi+%7D%7B6%7D+%5C%5C+%5C%5C+k%3D3%3B+~~+x%3D-%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D+%2B%5Cfrac%7B+3%5Cpi+%7D%7B2%7D+%3D%5Cfrac%7B+4%5Cpi+%7D%7B3%7D+%5C%5C+%5C%5C+k%3D4%3B~~+x%3D%5Cfrac%7B+%5Cpi+%7D%7B6%7D+%2B2+%5Cpi+%3D%5Cfrac%7B+13%5Cpi+%7D%7B6%7D+)
<span>8. Докажите, что функция y=(2x+5)^10 удовлетворяет соотношению 8000x^10(2x+5)^15-(y')^3=0
</span>
![y'=((2x+5)^{10})'=20(2x+5)^9](https://tex.z-dn.net/?f=y%27%3D%28%282x%2B5%29%5E%7B10%7D%29%27%3D20%282x%2B5%29%5E9)
![8000x^{10}(2x+5)^{15}-(y')^3=0\\ \\ y'= \sqrt[3]{8000x^{10}(2x+5)^{15}} =20(2x+5)^5x^{10/3}](https://tex.z-dn.net/?f=8000x%5E%7B10%7D%282x%2B5%29%5E%7B15%7D-%28y%27%29%5E3%3D0%5C%5C+%5C%5C+y%27%3D+%5Csqrt%5B3%5D%7B8000x%5E%7B10%7D%282x%2B5%29%5E%7B15%7D%7D+%3D20%282x%2B5%29%5E5x%5E%7B10%2F3%7D)
Не удовлетворяет.