Средним пропорциональным двух чисел a,b называется такое число с, что ![c^2=ab](https://tex.z-dn.net/?f=c%5E2%3Dab)
<u>Основные свойства прямоугольного треугольника.</u>
- Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов:
![h^2=a_c\cdot b_c](https://tex.z-dn.net/?f=h%5E2%3Da_c%5Ccdot+b_c)
- Каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией катета на гипотенузу:
![a^2=a_c\cdot c,~ b^2=b_c\cdot c](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E2%3Da_c%5Ccdot+c%2C~+b%5E2%3Db_c%5Ccdot+c)
1) Найдем высоту прямоугольного треугольника, применим свойство 1
![h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{25\cdot 1}=5](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+b_c%7D%3D%5Csqrt%7B25%5Ccdot+1%7D%3D5)
Гипотенуза прямоугольного треугольника, равна ![c=a_c+b_c=26](https://tex.z-dn.net/?f=c%3Da_c%2Bb_c%3D26)
А теперь найдем катеты a,b, используя свойство 2.
![a=\sqrt{a_c\cdot c}=\sqrt{25\cdot 26}=5\sqrt{26}\\ b=\sqrt{b_c\cdot c}=\sqrt{1\cdot26}=\sqrt{26}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B25%5Ccdot+26%7D%3D5%5Csqrt%7B26%7D%5C%5C+b%3D%5Csqrt%7Bb_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B1%5Ccdot26%7D%3D%5Csqrt%7B26%7D)
2) Найдем гипотенузу с прямоугольного треугольника, используя свойство 2.
![c=\dfrac{b^2}{b_c}=\dfrac{8^2}{4}=16](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%5Cdfrac%7Bb%5E2%7D%7Bb_c%7D%3D%5Cdfrac%7B8%5E2%7D%7B4%7D%3D16)
Катет а можно определить по теореме Пифагора:
![a=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%7Bc%5E2-b%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B16%5E2-8%5E2%7D%3D8%5Csqrt%7B3%7D)
![a_c=\dfrac{a^2}{c}=\dfrac{(8\sqrt{3})^2}{16}=12](https://tex.z-dn.net/?f=a_c%3D%5Cdfrac%7Ba%5E2%7D%7Bc%7D%3D%5Cdfrac%7B%288%5Csqrt%7B3%7D%29%5E2%7D%7B16%7D%3D12)
Найдем высоту h, используя свойство 1.
![h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{12\cdot 4}=4\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+b_c%7D%3D%5Csqrt%7B12%5Ccdot+4%7D%3D4%5Csqrt%7B3%7D)
3) Так как
откуда
, то, подставляя в свойство 1, получим
![2^2=(c-3)\cdot c\\ c^2-3c-4=0](https://tex.z-dn.net/?f=2%5E2%3D%28c-3%29%5Ccdot+c%5C%5C+c%5E2-3c-4%3D0)
По теореме Виетта:
— не удовлетворяет условию и ![c_2=4](https://tex.z-dn.net/?f=c_2%3D4)
Получили, что гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Тогда ![a_c=c-3=4-3=1](https://tex.z-dn.net/?f=a_c%3Dc-3%3D4-3%3D1)
![b=\sqrt{b_c\cdot c}=\sqrt{3\cdot4}=2\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D%5Csqrt%7Bb_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B3%5Ccdot4%7D%3D2%5Csqrt%7B3%7D)
Используя свойство 1, найдем высоту:
![h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{1\cdot3}=\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+b_c%7D%3D%5Csqrt%7B1%5Ccdot3%7D%3D%5Csqrt%7B3%7D)
4) Подставим а и c в свойство 2, получим
![8^2=a_c\cdot 10~~~\Rightarrow ~~~ a_c=6.4\\](https://tex.z-dn.net/?f=8%5E2%3Da_c%5Ccdot+10~~~%5CRightarrow+~~~+a_c%3D6.4%5C%5C)
![b_c=c-a_c=10-6.4=3.6](https://tex.z-dn.net/?f=b_c%3Dc-a_c%3D10-6.4%3D3.6)
![b=\sqrt{b_c\cdot c}=\sqrt{3.6\cdot10}=6](https://tex.z-dn.net/?f=b%3D%5Csqrt%7Bb_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B3.6%5Ccdot10%7D%3D6)
Высота: ![h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{6.4\cdot3.6}=4.8](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+b_c%7D%3D%5Csqrt%7B6.4%5Ccdot3.6%7D%3D4.8)
5) Найдем катет bc по теореме Пифагора:
![b_c=\sqrt{b^2-h^2}=\sqrt{17^2-15^2}=8](https://tex.z-dn.net/?f=b_c%3D%5Csqrt%7Bb%5E2-h%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B17%5E2-15%5E2%7D%3D8)
Используя свойство 2, найдем гипотенузу прямоугольного треугольника
![c=\dfrac{b^2}{b_c}=\dfrac{17^2}{8}=36.125](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D%5Cdfrac%7Bb%5E2%7D%7Bb_c%7D%3D%5Cdfrac%7B17%5E2%7D%7B8%7D%3D36.125)
![a_c=c-b_c=36.125-8=28.125](https://tex.z-dn.net/?f=a_c%3Dc-b_c%3D36.125-8%3D28.125)
![a=\sqrt{a_c\cdot c}=\sqrt{28.125\cdot36.125}=31.875](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B28.125%5Ccdot36.125%7D%3D31.875)
6) В условии опечатка видимо, высота не может быть больше чем 3.
7) Применим свойство 1. Найдем ac:
![a_c=\dfrac{h^2}{b_c}=\dfrac{6^2}{2}=18](https://tex.z-dn.net/?f=a_c%3D%5Cdfrac%7Bh%5E2%7D%7Bb_c%7D%3D%5Cdfrac%7B6%5E2%7D%7B2%7D%3D18)
Гипотенуза прямоугольного треугольника: ![c=18+2=20](https://tex.z-dn.net/?f=c%3D18%2B2%3D20)
Найдем катеты a,b применив свойство 2.
![a=\sqrt{a_c\cdot c}=\sqrt{18\cdot20}=6\sqrt{10}\\ b=\sqrt{b_c\cdot c}=\sqrt{2\cdot20}=2\sqrt{10}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B18%5Ccdot20%7D%3D6%5Csqrt%7B10%7D%5C%5C+b%3D%5Csqrt%7Bb_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B2%5Ccdot20%7D%3D2%5Csqrt%7B10%7D)
8) Применим свойство 1 и найдем катет а и затем катет b
![a=\sqrt{a_c\cdot c}=\sqrt{1\cdot 4}=2\\ b_c=c-a_c=4-1=3\\ b=\sqrt{b_c\cdot c}=\sqrt{3\cdot4}=2\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=a%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B1%5Ccdot+4%7D%3D2%5C%5C+b_c%3Dc-a_c%3D4-1%3D3%5C%5C+b%3D%5Csqrt%7Bb_c%5Ccdot+c%7D%3D%5Csqrt%7B3%5Ccdot4%7D%3D2%5Csqrt%7B3%7D)
Высота прямоугольного треугольника:
![h=\sqrt{a_c\cdot b_c}=\sqrt{1\cdot3}=\sqrt{3}](https://tex.z-dn.net/?f=h%3D%5Csqrt%7Ba_c%5Ccdot+b_c%7D%3D%5Csqrt%7B1%5Ccdot3%7D%3D%5Csqrt%7B3%7D)