Question

Вычислить предел. Можете пожалуйста помочь с этим?

Answer 1

$\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{ln(e-x)-1}$
Неопределённость 0/0.

Разделим числитель и знаменатель на икс (х):
$\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{ln(e-x)-1}=\lim_{x \to \inft0} \frac{ \frac{arcsin3x}{x} } { \frac{ln(e-x)-1}{x} }= \frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }$

В числителе чуть-чуть не хватает до первого замечательного предела. Чтобы это исправить домножим арксинус на 3 и тут же разделим на три:
$\frac{\lim_{x \to \inft0} \frac{3arcsin3x}{3x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} } =\frac{ 3 \lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{3x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }$

Вот теперь в числителе можно применить первый замечательный предел (не в форме синуса, а в форме арксинуса):
$\frac{ 3 \lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{3x} }{\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }=\frac{ 3 }{ \lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }$

Теперь обратим внимание на знаменатель - там ещё один предел. Он приводится ко второму замечательному пределу. Для простоты будем выполнять действия только со знаменателем:
$\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x}=\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-lne}{x}= \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} \frac{ln \frac{e-x}{e} }{x}=\lim_{x \to \inft0} \frac{ln(1- \frac{x}{e} ) }{x}=\lim_{x \to \inft0} \frac{1}{x}ln(1- \frac{x}{e} ) = \\ \\ =\lim_{x \to \inft0} ln(1+ (-\frac{x}{e}) )^{\frac{1}{x}} =\lim_{x \to \inft0} ln[(1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} *(- \frac{x}{e} )} ]^{\frac{1}{x}} =$

$=\lim_{x \to \inft0} ln[(1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} } ]^{ (- \frac{x}{e})* \frac{1}{x}} =\lim_{x \to \inft0} ln[(1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} } ]^{- \frac{1}{e}} = \\ \\ =ln[ \lim_{x \to \inft0} (1+ (-\frac{x}{e}) )^{- \frac{e}{x} } ]^{- \frac{1}{e}} =lne^{- \frac{1}{e}}=- \frac{1}{e}lne=- \frac{1}{e}$

Итак, последовательно подвели знаменатель ко второму замечательному пределу.
Переходим к основному пределу:
$\lim_{x \to \inft0} \frac{arcsin3x}{ln(e-x)-1}=\frac{ 3 }{ \lim_{x \to \inft0} \frac{ln(e-x)-1}{x} }= \frac{3}{- \frac{1}{e}} =-3e$