Question

Определенный интеграл от 1 до e^(pi/2) Coslnxdx

Answer 1

$\int\limits^{e^{ \frac{ \pi }{2} }}_1 {Coslnx} \, dx =| \ t=lnx \ x=e^t \ dx=e^tdt| = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt$
$I = \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt =\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {e^t} \, dSint=e^tSint|_0^{ \frac{ \pi }{2} }-\int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Sint \, e^t} \, dt = \\ =e^{ \frac{ \pi }{2} }Sin \frac{ \pi }{2} -e^0Sin0+ \int\limits^ \frac{ \pi }{2} _0 {e^t} \, dCost=e^{ \frac{ \pi }{2} } + e^tCost|_0^{ \frac{ \pi }{2} }- \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt = \\ =e^{ \frac{ \pi }{2} }+e^{ \frac{ \pi }{2} }Cos \frac{ \pi }{2} -e^0Cos0-$$- \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt =e^{ \frac{ \pi }{2} }-1- \int\limits^{ \frac{ \pi }{2} }_0 {Cost \, e^t} \, dt = e^{ \frac{ \pi }{2} }-1-I$
$I=e^{ \frac{ \pi }{2} }-1-I \\ 2I=e^{ \frac{ \pi }{2} }-1 \\ I= \frac{1}{2} (e^{ \frac{ \pi }{2} }-1)$