Question

В параллелограмме АВСД острый угол при вершине А равен 30, сторона СД касается окружности, описанной около треугольника АВД. Определите радиус окружности, если площадь параллелограмма равна $32 \sqrt{3}$

Answer 1

BD - диагональ параллелограмма , тогда делит параллелограмм на два равных треугольника , следовательно  площадь  треугольника $S_{ABD}=16\sqrt{3}$ .
По условию $DC$ касательная  к окружности , тогда $DC$⊥$OD$ , следовательно радиус  $OD$ делит сторону треугольника $AB$ пополам .
$BOD=60а$
$BD^2=2R^2-2R^2*cos60а\\ BD^2=R^2\\ BD=R$
Так как  радиус делит сторону АВ пополам, то это возможна только в равнобедренном треугольнике, значит  угол $ABD=30\\ ADB=120$
$S_{ABD} = 16\sqrt{3}\\ \frac{R*R*sin60}{2}=16\sqrt{3}\\ R^2*sin60=32\sqrt{3}\\ R=\sqrt{\frac{32\sqrt{3}}{sin60} } =8$