Question

Максимум баллов! 8 класс.

Высота равностороннего треугольника = 6см. Найдите сумму расстояний от произвольной точки, взятой внутри этого треугольника, до его сторон.

Answer 1

Расстояние будет равно 6. Например, возьмите вершину. Тут очевидно, что 6, потому что до двух других сторон расстояние нуль.
Возьмите точку пересечения вершин. До каждой стороны будет 1\3 от вершины, итого 1\3*3 = 1, то есть высота. И так дальше.
Это называется Теорема Вивиани. 
Площадь треугольника - это произведение стороны, на высоту, проведенную к этой стороне, деленная на 2. То есть $S = \frac{ah_a}{2}$. Если взять любую точку внутри треугольника, то площадь всего треугольника должна быть равна сумме площадей маленьких, которые образуются этой точкой. Назовем высоты маленьких треугольников, как $l, m, n$.
Тогда $\frac{ah_a}{2} = \frac{al}{2} + \frac{am}{2} + \frac{an}{2}$
то есть $h_a=l+m+n$, что и требовалось доказать