Question

Тригонометрия, упростите выражение, пожалуйста

Answer 1

 упростить:  $tg(x- \frac{5 \pi }{4})*2sin^2 (x+ \frac{5 \pi }{4})$

1)
$tg(x- \frac{5 \pi }{4})= \frac{tgx-tg \frac{5 \pi }{4} }{1+tgx*tg \frac{5 \pi }{4}} =\frac{tgx-tg \frac{ \pi }{4} }{1+tgx*tg \frac{ \pi }{4}} =\frac{tgx-1}{1+tgx} =\frac{ \frac{sinx}{cosx} -1}{1+ \frac{sinx}{cosx} }= \frac{ \frac{sinx-cosx}{cosx} }{ \frac{cosx+sinx}{cosx} }=$$= \frac{sinx-cosx}{cosx} }* \frac{cosx}{cosx+sinx}= \frac{sinx-cosx}{cosx+sinx} }$
2)
$sin(x+ \frac{5 \pi }{4})=sinx*cos \frac{5 \pi }{4} +cosx*sin \frac{5 \pi }{4} =$$=sinx*cos ( \pi +\frac{ \pi }{4}) +cosx*sin( \pi + \frac{ \pi }{4})=-sinx* \frac{ \sqrt{2} }{2} -cosx* \frac{ \sqrt{2} }{2} =$$=- \frac{ \sqrt{2} }{2} (sinx+cosx)$

$tg(x- \frac{5 \pi }{4})*2sin^2 (x+ \frac{5 \pi }{4})=\frac{sinx-cosx}{cosx+sinx} }*2*(- \frac{ \sqrt{2} }{2} (sinx+cosx) )^2=$$=\frac{sinx-cosx}{cosx+sinx} }*2*\frac{1 }{2} (sinx+cosx)^2=(sinx-cosx)(sinx+cosx)=$$sin^2x-cos^2x=-(cos^2x-sin^2x)=-cos2x$

Ответ: - cos2x