Question

При каких значениях параметра корни уравнения имеют разные знаки и оба принадлежат отрезку [-2;2]4) При каких значениях парметр

При каких значениях параметра корни уравнения $x^2-(a-1)x+2a-1=0$ имеют разные знаки и оба принадлежат отрезку [-2;2]

4) При каких значениях парметра все решения неравенства $ax^2-x+2-4a<0$ принадлежат интервалу (0;2)

Answer 1

$1) \ x^2 - (a - 1)x + 2a - 1 = 0\\\\ D > 0, x_1*x_2 < 0, f(2) \geq 0, f(-2) \geq 0\\\\ a) \ D = (a-1)^2 - 8a + 4 = a^2 - 2a + 1 - 8a + 4 = a^2 - 10a + 5\\\\ a^2 - 10a + 5 > 0, D = 100 - 20 = 80\\\\ a_1 = \frac{10 - 4\sqrt{5}}{2} = 5 - 2\sqrt{5}\\\\ a_2 = \frac{10+ 4\sqrt{5}}{2} = 5 + 2\sqrt{5}\\\\ a \in (-\infty; 5 - 2\sqrt{5}) \cup (5 + 2\sqrt{5}; +\infty)\\\\ b) \ x_1*x_2 = (2a - 1) < 0, 2a < 1, a < \frac{1}{2}\\\\ c) \ 2^2 - (a - 1)2 + 2a - 1 \geq 0$

 

$4 - 2a + 2 + 2a - 1 \geq 0\\\\ 5 \geq 0\\\\ a \in R\\\\ d) \ (-2)^2 - (a - 1)(-2) + 2a -1 \geq 0\\\\ 4 + 2a - 2 + 2a - 1 \geq 0\\\\ 4a + 1 \geq 0\\\\ 4a \geq -1\\\\ a \geq -\frac{1}{4}\\\\ \Downarrow\\\\ \undrline{a \in [-\frac{1}{4}; \frac{1}{2})}$

 

 

$4) \ ax^2 - x + 2 - 4a < 0\\\\ a > 0, f(0) \geq 0, f(2) \geq 0, 0 < \frac{1}{2a} < 2, D > 0\\\\ a) \ a*0^2 - 0 + 2 - 4a \geq 0, 2 \geq 4a, a \leq \frac{1}{2}\\\\ b) \ a4 - 2 + 2 - 4a \geq 0, 0 \geq 0, a \in R\\\\ c) \ 0 < \frac{1}{2a} < 2\\\\ 1 < 4a\\\\ a > \frac{1}{4}\\\\ e) \ D = 1 - 4(2-4a)a = 1 - 8a + 16a^2 = (1 - 4a)^2 > 0, a \ne \frac{1}{4}\\\\ a \in (\frac{1}{4}; \frac{1}{2}]$