Question

Три хорды
Дан треугольник ABC. На прямой AC взяты точки X и Y, отличные от точек A и C, так, что XA=AC=CY. На прямой BC взяты точки K и L, отличные от точек B и C, так, что KB=BC=CL. На прямой AB взяты точки M и N, отличные от точек A и B, так, что MA=AB=BN. Оказалось, что вокруг шестиугольника XKNYLM можно описать окружность. Известно что, периметр треугольника ABC=$12 \sqrt{ \frac{3}{7} }$. Найдите радиус, описанной вокруг шестиугольника XKNYLM окружности.

Answer 1

Из свойств хорд следует что 
$(YC+AC)*AX=AM*(AB+BN)\\2AC*AC=AB*2AB\\AC=AB$ так и остальные ,  то есть следует что три стороны треугольника равны , остальные три в два раза больше , то есть  
 $AC=AB=BC=4\sqrt{\frac{3}{7}}\\MX=NK=LY=4\sqrt{\frac{3}{7}}\\ML=XK=YN=8\sqrt{\frac{3}{7}}$
 Рассмотрим  четырехугольник $YXKN$ , положим что угол $YXK=a$ Получим по теореме косинусов  
$(8\sqrt{\frac{3}{7}})^2+(12\sqrt{\frac{3}{7}})^2-16\sqrt{\frac{3}{7}}*12\sqrt{\frac{3}{7}}*cosa=$$(4\sqrt{\frac{3}{7}})^2+(8\sqrt{\frac{3}{7}})^2-2*4\sqrt{\frac{3}{7}}*8\sqrt{\frac{3}{7}}*cos(\pi-a)$

откуда $a=\frac{\pi}{3} \\YK=\sqrt{48}$
о теореме синусов $\frac{\sqrt{48}}{sin\frac{\pi}{3}}=2R\\R=4$
 
  Ответ    $4$