1. Фигура АВСD разбита на два прямоугольных треугольника. Её площадь - сумма площадей этих треугольников.
SΔАВС=AB*BC/2=2*2√3/2=2√3 ед²;
Против угла 30° лежит катет в два раза меньше гипотенузы. АС=2*2=4 ед.
SΔСAD=4*4/2=8 ед².
Площадь АВСD - 8+2√3 ед².
2.
а) α и β - смежные углы. Их сумма равна 180°. Составляем уравнение:
α+β=(α=3β)=3β+β=4β=180°
β=180/4=45°.
б) углы α, β, γ в сумме дают 180° (развернутый угол). Составляем уравнение:
α+β+γ=(α+γ=β)=2β=180
β=90°
3.
Для доказательства даем определение квадрата:
а) все стороны одинаковые;
б) все углы одинаковые по 90°.
Доказательства:
а). Все треугольники изображенные на рисунке одинаковые по двум сторонам и углу между ними. Значит и одинаковы стороны получившегося четырехугольника.
б) сумма острых углов прямоугольного треугольника 90°. Угол, образованный углом четырехугольника и суммой острых углов - развернутый - 180°. Значит угол четырехугольника - 180-90=90°. Это справедливо для каждого угла четырехугольника.
У четырехугольника все стороны равны и все углы равны по 90° ⇔ этот четырехугольник квадрат.
У этой задачи есть очень смешное решение.
Прдставьте, что у трапеции боковые стороны такие же 3 и 4, и углы при основаниях такие же, но основания КОРОЧЕ, таким образом, что биссектрисы всех 4 углов пресекаются в одной точке. В этом случае сумма оснований равна сумме боковых сторон, поскольку в такую трапецию можно вписать окружность. Ясно, что если верхнее основание короче на х, то и нижнее - тоже на х (вобщем-то мы так и строили эту трапецию, просто отсекли её от первоначальной с помощью прямой линии, параллельной боковой стороне).
Таким образом, 9 - х + 13 - х = 3 + 4; х = 7,5;
Это и есть ответ. :)
Исходная трапеция получается просто если и верхнее и нижнее основания трапеции с боковыми сторонами 3 и 4 и основаниями 1,5 и 5,5 удленить на 7,5, точки пересечения биссектрис при этом раздвинуться на столько же. Это можно и "строго" показать (хотя куда уж строже), но я вам это оставлю, пожалуй. :))
Площадь трапеции = полусумма оснований * высоту
S=(2+3)/2*4=10
Длины дуг пропорциональны их углам ( центральным углам которые опираются на дуги).
Сумма центральных унглов окружности равна 360°.
4x+5x+6x=360°
x=24°
Получились такие углы дуг:
96° 120° 144°
Углы треугольника нарисованного на точках пересечения в 2 раза меньше вышеназванных. Тоесть, 48° 60° 72°
Треугольник с такими углами остроугольный.
ЕК-средняя линия трапеции О точка пересечения диагонали и ЕК Тр-к АВД ЕО-средняя линия =7 след АВ=3*7=14 Тр-к ДВС ОК-сред лин =14 след ДС=28