Рассмотрим прямоугольные треугольники АВО и СВО:
∠АВО = ∠СВО по условию
ВО - общий катет
Следовательно, ΔАВО = ΔСВО по катету и прилежащему острому углу.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, отсюда:
АО = СО
Рассмотрим треугольник АDС:
DО ⊥ АС (по условию) ⇒ DО - высота
АО = СО (доказано выше) ⇒ DО - медиана
Если DО является медианой и высотой, тогда ΔАDС - равнобедренный, с основанием АС, отсюда:
АD = DС, что и требовалось доказать.
Обозначим центр вписанной окружности как O. Cторона AB перпендикулярна OG (касается окружности), треугольники AGО и BGО - прямоугольные. Треугольник AOB прямоугольный, т.к. диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
AG = 8
BG = 2
AB = 8+2 = 10
OА = a
OB = b
OG = r
a² + b² = 100
a² = r² + 64
b² = r² + 4
Сложим уравнения:
a² + b² = 2r² + 68
r =
= 4
180(n-2)/n=150
(180n-360-150n)/n=0
{180n-360-150n=0
{n#0
{30n=360
{n#0
{n=360:30=12
{n#0
Это двенадцатиугольник