Question

Точки A и B делят диагональ MK параллелограмма MNKP на три равные части. Докажите, что NAPB-параллелограмм

Answer 1

Смотри рисунок.

Рассмотрим треугольники МNA и КРВ.
Диагональ параллелограмма разбивает его на два равных треугольника (ΔМNК и ΔМКР) ⇒ угол NМК=углу МКР
MN=КР (как противолежащие стороны параллелограмма) и МА=ВК (по условию).
По первому признаку равенства треугольников треугольники МNA и КРВ равны.
Значит NА=ВР.

Рассмотрим треугольники NВК и МАР.
Угол NКВ=углу АМР, NК=МР, ВК=МА ⇒ треугольники NВК и МАР равны.
Значит NВ=АР.

Рассмотрим треугольники NВА и ВАР.
NА=ВР и NВ=АР ( по доказанному), АВ - общая ⇒ треугольники NВА и ВАР равны.
Значит угол NВА=углу ВАР ⇒ NВ параллельна АР (здесь углы NВА и ВАР являются внутренними накрест лежащими, а секущая - АВ).
           угол NАВ=углу АВР ⇒ АN параллельна ВР.

Так как у параллелограмма стороны попарно параллельны и равны, то NАРВ - параллелограмм.