I. Параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ - прямоугольный, все грани - прямоугольники. К - середина ребра AD: AK = KD
Прямая BD₁ содержит диагональ параллелепипеда.
Диагональ BD₁ лежит в плоскости диагонального сечения BB₁D₁D.
B₁B⊥(ABCD) и D₁D⊥(ABCD) ⇒ (BB₁D₁D)⊥(ABCD)
Построение плоскости α:
1) из точки K провести перпендикуляр к диагонали основания BD до пересечения с ребром BC: KE⊥BD; P∈BC;
2) из точки Е провести перпендикуляр к диагонали параллелепипеда BD₁ до пересечения с ребром BB₁ : EF⊥BD₁; M∈BB₁;
3) соединить точки M и P;
4) от точки К в плоскости AA₁D₁D провести отрезок KN║MP;
5) соединить точки N и M.
Четырёхугольник KNMP - сечение плоскостью α параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁
KE⊥BD; MB⊥BD ⇒ ME⊥KE по теореме о трёх перпендикулярах ⇒
∠MEB - угол между плоскостью α и основанием ABCD
Доказать: ∠MEB=∠BB₁D
BB₁D₁D - прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ⇒
ΔBOD - равнобедренный : ∠OBD=∠ODB
ΔBB₁D и ΔFEB : ∠B₁BD = ∠BFE = 90°; ∠FBE=∠B₁DB ⇒
∠FEB = ∠BB₁D
Таким образом ∠MEB = ∠BB₁D
II. Дано: V = 48√3; AB = 2√3; AD = 6
Найти ∠MEB
V = AB*AD*BB₁
ΔBAD - прямоугольный : ∠BAD = 90°; AB = 2√3; AD = 6
Теорема Пифагора
BD² = AB² + AD² = (2√3)² + 6² = 12 + 36 = 48
BD = √48 = 4√3
ΔB₁BD - прямоугольный : ∠B₁BD = 90°; BD = 4√3; BB₁ = 4
tg∠BB₁D = BD/BB₁ = 4√3 / 4 = √3
√3 - табличное значение тангенса угла 60° ⇒
∠MEB = ∠BB₁D = 60°
Ответ: угол между плоскостью α и плоскостью ABCD равен 60°