Question

1) В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 47 градусов. Используя калькулятор, найдите угол наклона боковых ребер к плоскости основания.
2) В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания пол углом 60 градусов. Расстояние от центра основания до боковой грани равно 2 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Answer 1

1) В правильной треугольной пирамиде проекции боковых рёбер на основание имеют угол между собой в 360°/3 = 120°.

Тангенс угла β наклона бокового ребра к основанию равен:

tg β = tg α*cos φ = tg 47*cos(120/2) = 1,07236871 * 0,5 = 0,536184355.

β = arc tg(0,536184355) = 0,492174352 радиан = 28,19951313°.

2) Проведём осевое сечение пирамиды через апофему.

В сечении - равносторонний треугольник.

Высота из середины основания этого треугольника на боковую сторону равна 2 см ( по заданию - это расстояние от центра основания до боковой грани).

Высота Н пирамиды как гипотенуза в 2 раза больше катета, лежащего против угла в 30°: Н = 2*2 = 4 см.

Апофема А равна стороне а основания: A = а.

По Пифагору А² = (а/2)² + Н²,

  а² = (а/2)² + 4².

4а² = а² + 16*4,

3а² = 64,

а = √(64/3) = 8/√3 = 8√3/3 см.

Периметр основания Р = 4а = 4*(8√3/3) = 32√3/3 см.

Искомая площадь боковой поверхности пирамиды равна:

Sбок = (1/2)РА = (1/2)*(32√3/3)*(8√3/3) =128/3 = 42(2/3) см².