Question

Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сто

рон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Доказать, что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (√3- 1)/2.

Answer 1

В треуг.АВС проведем высоту ВК к основанию АС.

ВК - высота,биссектриса и медиана,делит треуг.АВС на 2 равных прямоугольных треугольника АВК и КВС

В треуг.АВК  АВ=1 - гипотенуза

АК=1:2=0,5 - катет

ВК2=АВ2-АК2 - катет

ВК=корень из 1*1-0,5*0,5=0,87

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности

r=(р-а)(р-b)(p-c)/p

r=ab/(a+b+c)

r=(a+b-c)/2

r=(0,5+0,87-1)/2

r=0,185

2r=0,185*2=0,37

(корень из 3 - 1)/2= 0,37

0,37=0,37

Ответ:сумма радиусов не меньше,чем 0,37