6.8*7.5=51
51:8.5=6
ответ:6
первая полка--х
вторая полка 3х
переложили 32 книги
уравнение х+32=3х-32
32+32=3х-х
64=2х
х=32
на одной полке лежало 32 книги, на второй 3*32=96 книг
Чтобы сумма трёх чисел делилась на шесть, необходимо, чтобы она была чётной. Чётной она будет тогда, когда либо все три числа чётные, либо когда одно четное и два нечётных. Т.е. у нас хотя бы одно число из трёх будет чётным, пусть это будет число
![b.](https://tex.z-dn.net/?f=b.)
![a^3 + x^3 = (a + b)(a^2 - ax + x^2)\\\\ a^3 + (b + c)^3 = (a + b + c)(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2)\\\\ a^3 + b^3 + 3b^2c + 3bc^2 + c^3 = (a + b + c)(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2)\\\\ a^3 + b^3 + c^3 = (a + b + c)(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2) - 3b^2c - 3bc^2](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E3+%2B+x%5E3+%3D+%28a+%2B+b%29%28a%5E2+-+ax+%2B+x%5E2%29%5C%5C%5C%5C%0Aa%5E3+%2B+%28b+%2B+c%29%5E3+%3D+%28a+%2B+b+%2B+c%29%28a%5E2+-+a%28b+%2B+c%29+%2B+%28b+%2B+c%29%5E2%29%5C%5C%5C%5C%0Aa%5E3+%2B+b%5E3+%2B+3b%5E2c+%2B+3bc%5E2+%2B+c%5E3+%3D++%28a+%2B+b+%2B+c%29%28a%5E2+-+a%28b+%2B+c%29+%2B+%28b+%2B+c%29%5E2%29%5C%5C%5C%5C%0Aa%5E3+%2B+b%5E3+%2B+c%5E3+%3D++%28a+%2B+b+%2B+c%29%28a%5E2+-+a%28b+%2B+c%29+%2B+%28b+%2B+c%29%5E2%29+-+3b%5E2c+-+3bc%5E2)
Так как было положено, что
![b](https://tex.z-dn.net/?f=b)
чётное, то его можно представить в виде:
![b = 2n, \ n \in \mathbb{N}](https://tex.z-dn.net/?f=b+%3D+2n%2C+%5C+n+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D)
В свою очередь,
![a + b + c = 6m, \ m \in \mathbb{N}.](https://tex.z-dn.net/?f=a+%2B+b+%2B+c+%3D+6m%2C+%5C+m+%5Cin+%5Cmathbb%7BN%7D.)
Получим:
![a^3 + b^3 + c^3 = 6m(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2) - 3 \cdot 4n^2c - 3\cdot2nc^2 =\\\\ = 6\left(m(a^2 - a(b + c) + (b + c)^2) - 2n^2c - nc^2\right)](https://tex.z-dn.net/?f=a%5E3+%2B+b%5E3+%2B+c%5E3+%3D+6m%28a%5E2+-+a%28b+%2B+c%29+%2B+%28b+%2B+c%29%5E2%29+-+3+%5Ccdot+4n%5E2c+-+3%5Ccdot2nc%5E2+%3D%5C%5C%5C%5C+%3D+6%5Cleft%28m%28a%5E2+-+a%28b+%2B+c%29+%2B+%28b+%2B+c%29%5E2%29+-+2n%5E2c+-+nc%5E2%5Cright%29)
Что и требовалось доказать.