Question

Написать уравнение плоскости проходящей через точку М(2,-1,4) И ЛИНИЮ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ 2х+у-4z=2 b z=1

Answer 1

Подставляя z=1 в уравнение 2*x+y-4*z=2, получаем уравнение 2*x+y-6=0 - уравнение прямой, являющейся линией пересечения плоскостей. Полагая х=0, из этого уравнения находим y=6. Значит, точка M1(0,6,1) принадлежит плоскости, уравнение которой нужно найти. Пусть теперь y=0, тогда x=3. Значит, точка M2(3,0,1) тоже принадлежит искомой плоскости. Теперь используем уравнение плоскости, проходящей через 3 точки:

x-x1     y-y1     z-z1
x2-x1   y2-y1   z2-z1    =0
x3-x1   y3-y1   z3-z1

Пологая x1,y1,z1 координатами точки М, x2,y2,z2 - координатами точки М1 и x3,y3,z3 - координатами точки М2, приходим к уравнению: 

x-2   y+1   z-4
-2       7      -3    =0.
 1       1      -3

Раскрывая определитель по первой строке, получаем уравнение:
(x-2)*(-18)-(y+1)*9+(z-4)*(-9)=0, или -18*x-9*y-9*z+63=0, или 2*x+y+z-7=0.
Подставляя в это уравнение координаты точек М, М1 и М2, убеждаемся, что они удовлетворяют полученному уравнению.

Ответ: 2*x+y+z-7=0.