Question

Решите задачку, пожалуйста)

Вы­со­ты BB1 и CC1 ост­ро­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка ABC пе­ре­се­ка­ют­ся в точке H.
а) До­ка­жи­те, что ∠AHB1 = ∠ACB.
б) Най­ди­те BC, если AH = 21 и ∠BAC = 30°.

Answer 1

А) у прямоугольных треугольников AHB1 и AA1C есть общий угол A1AC; значит равны и вторые углы. (AA1 - третья высота)
б) если построить на AH окружность, как на диаметре, то точки C1 и B1 попадут на неё из за того, что углы AC1H и AB1H прямые. Поэтому AH - диаметр окружности, описанной вокруг треугольника AB1C1;
Отсюда по теореме синусов B1C1 = AH*sin(∠BAC) = 21/2;
Однако :) стороны треугольника AB1C1 можно выразить через стороны треугольника ABC так
AB1 = AB*cos(∠BAC); AC1 = AC*cos(∠BAC);
поскольку ∠BAC общий, треугольники подобны с коэффициентом подобия cos(∠BAC); то есть BC*cos(∠BAC) = B1C1 = AH*sin(∠BAC);
BC = AH*tg(∠BAC) = 21/√3 = 7√3;