Question

Найдите произведение наибольшего и наименьшего значений выражения 3sin7a + 3cos7a

Answer 1

Воспользоваться известной формулой преобразования 

$sin x + cos x = \sqrt{2} sin ( \frac{ \pi }{4} +x)$

применив к исходному выражению, получим

$3sin7a + 3cos 7a = 3(sin7a + cos 7a) = 3 \sqrt{2} sin ( \frac{ \pi }{4} +7a)$

максимальное значение этого выражения = $+3 \sqrt{2}$
минимальное =$- 3 \sqrt{2}$

их произведение = -18

ответ: -18

Answer 2

Формула: $a\sin x\pm b\cos x= \sqrt{a^2+b^2} \sin(x\pm\arcsin \frac{b}{ \sqrt{a^2+b^2} } )$

$3\sin7 \alpha +3\cos 7 \alpha = \sqrt{3^2+3^2} \sin ( 7\alpha +\arcsin \frac{3}{ \sqrt{3^2+3^2} } )=\\ \\ \\ =3 \sqrt{2} \sin(7 \alpha + \frac{\pi}{4} )$

Cинус принимает свои значения $[-1;1]$

$-1 \leq \sin( 7\alpha + \dfrac{\pi}{4} ) \leq 1\,\, \bigg|\cdot3 \sqrt{2} \\ \\\\ -3 \sqrt{2} \leq 3 \sqrt{2} \sin( 7\alpha + \dfrac{\pi}{4} )\leq 3 \sqrt{2}$

Наибольшее $3 \sqrt{2}$, а наименьшее $(-3 \sqrt{2})$

Их произведение: $3 \sqrt{2}\cdot(-3 \sqrt{2})=-18$