Question

1)Дано: ABCD - прямоугольник. Прямая MB перпендикулярна плоскости ABC. Доказать перпендикулярность плоскостей AMB и MCB.

Answer 1

Плоскости перпендикулярны, если угол между ними - прямой. Угол между плоскостями (двугранный угол) измеряется меньшим линейным углом, т. е. меньшим углом между перпендикулярами в плоскостях к точке на прямой, по которой плоскости пересекаются.

Прямая MB перпендикулярна ABC и по определению перпендикулярна любой прямой в этой плоскости. Прямые AB и BC лежат в плоскости ABC, следовательно перпендикулярны MB.

Плоскости AMB и MCB пересекаются по прямой MB. Прямые AB и BC лежат в плоскостях AMB и MCB и являются перпендикулярами к точке на MB, следовательно угол между AB и BC определяет угол между плоскостями AMB и MCB. Угол между AB и BC - прямой (ABCD - прямоугольник, все углы прямые), плоскости AMB и MCB - перпендикулярны.

Answer 2

Вспомним, что прямоугольник - это такой 4-х угольник, у которого все углы прямые
Если прямая перпендикулярна плоскости, то эта прямая перпендикулярна всем прямым, лежащим в данной плоскости
Так как MB ⊥ (ABC), то MB ⊥ BC и MB ⊥ AB
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую ( в нашем случае MB), перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны. Следовательно (AMB) ⊥ (MCB), ч.т.д.