Ромб АВСД: АВ=ВС=СД=АД=1/√π, острый <В=<Д=60°
Здесь применяются свойства диагоналей ромба АС и ВД:
1) диагонали ромба пересекаются в точке О и точкой пересечения делятся пополам (АО=ОС, ВО=ВД);
2) диагонали ромба взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами его углов (<АВО=<СВО=60/2=30°)<span>.
Из прямоугольного </span>ΔАВО:
ВО=АВ*cos 30=1/√π*√3/2=√3/2√π
Большая диагональ ВД, значит ВО - это радиус окружности
Площадь S=π*ВО²=π*(√3/2√π)²=3/4=0,75
1) Так як в трапецію можна вписати коло, то суми її протилежних сторін рівні, тобто АВ+СД=ВС+АД або 2АВ=ВС+АД, де АВ - шукана бічна сторона, ВС - менша основа, АД=12 см. Із формули знайдемо, що АВ=0,5(ВС+АД)=0,5(ВС+12)
2) Нехай середня лінія МN (М - середина АВ) перетинає діагоналі АС в точці К, а ВД в точці Р. Тоді за умовою Відрізки МК=КР=РN=х (приймемо за х). В тр-ку АСД КN - середня лінія яка дорівнює половині основи АД, тобто КN=6 см. Але КN=2х, тоді х=3 см.
3) В тр-ку ВСА МК=3 - середня линія, тоді основа ВС=3*2=6 см.
4) Так, АВ=0,5(6+12)=9 см.
<h2>Решение:</h2>
<em><u>Задание</u></em><em><u> </u></em><em><u>1</u></em><em><u>:</u></em>
<em><u>Смежные</u></em><em><u> </u></em><em><u>углы</u></em><em><u> </u></em><em><u>в</u></em><em><u> </u></em><em><u>сумме</u></em><em><u> </u></em><em><u>равны</u></em><em><u> </u></em><em><u>1</u></em><em><u>8</u></em><em><u>0</u></em><em><u>°</u></em><em><u>.</u></em><em><u> </u></em><em><u>Пусть</u></em><em><u> </u></em><em><u>меньший </u></em><em><u>угол</u></em><em><u> </u></em><em><u>равен</u></em><em><u> </u></em><em><u>x</u></em><em><u>,</u></em><em><u> </u></em><em><u>тогда</u></em><em><u> </u></em><em><u>больший</u></em><em><u> </u></em><em><u>2</u></em><em><u>x</u></em><em><u>.</u></em><em><u> </u></em><em><u>Имеем</u></em><em><u>:</u></em><em><u> </u></em><em><u>x</u></em><em><u>+</u></em><em><u>2</u></em><em><u>x</u></em><em><u>=</u></em><em><u>1</u></em><em><u>8</u></em><em><u>0</u></em><em><u> </u></em><em><u>=</u></em><em><u>></u></em><em><u> </u></em><em><u>x</u></em><em><u>=</u></em><em><u>6</u></em><em><u>0</u></em><em><u>°</u></em><em><u> </u></em><em><u>-</u></em><em><u>г</u></em><em><u>радусная</u></em><em><u> </u></em><em><u>мера</u></em><em><u> </u></em><em><u>меньшего</u></em><em><u> </u></em><em><u>угла</u></em><em><u>.</u></em><em><u> </u></em><em><u>То</u></em><em><u>гда</u></em><em><u> </u></em><em><u>1</u></em><em><u>2</u></em><em><u>0</u></em><em><u>°</u></em><em><u> </u></em><em><u>-</u></em><em><u> </u></em><em><u>градусная</u></em><em><u> </u></em><em><u>мера</u></em><em><u> </u></em><em><u>большего </u></em><em><u>угла</u></em><em><u>.</u></em>
<em><u>Задание</u></em><em><u> </u></em><em><u>2</u></em><em><u>:</u></em><em><u> </u></em><em><u>(</u></em><em><u>см</u></em><em><u> </u></em><em><u>фото</u></em><em><u>,</u></em><em><u> </u></em><em><u>где</u></em><em><u> </u></em><em><u>точка</u></em><em><u> </u></em><em><u>О</u></em><em><u> </u></em><em><u>заменена</u></em><em><u> </u></em><em><u>на</u></em><em><u> </u></em><em><u>точку</u></em><em><u> </u></em><em><u>А</u></em><em><u> </u></em><em><u>-</u></em><em><u> </u></em><em><u>центр</u></em><em><u> </u></em><em><u>окружности</u></em><em><u>)</u></em>
<em><u>Задание</u></em><em><u> </u></em><em><u>3</u></em><em><u>:</u></em>
<em><u>По</u></em><em><u> </u></em><em><u>третьему</u></em><em><u> </u></em><em><u>признаку </u></em><em><u>равенства</u></em><em><u> </u></em><em><u>треуго</u></em><em><u>льников</u></em><em><u> </u></em><em><u>треугольники</u></em><em><u> </u></em><em><u>равны</u></em><em><u>,</u></em><em><u> </u></em><em><u>если</u></em><em><u> </u></em><em><u>соот</u></em><em><u>ветственно</u></em><em><u> </u></em><em><u>равны</u></em><em><u> </u></em><em><u>3</u></em><em><u> </u></em><em><u>их</u></em><em><u> </u></em><em><u>стороны</u></em><em><u>.</u></em><em><u> </u></em><em><u>В</u></em><em><u> </u></em><em><u>равностороннем</u></em><em><u> </u></em><em><u>треугольнике</u></em><em><u> </u></em><em><u>все</u></em><em><u> </u></em><em><u>стороны</u></em><em><u> </u></em><em><u>равны</u></em><em><u>,</u></em><em><u> </u></em><em><u>а</u></em><em><u> </u></em><em><u>значит</u></em><em><u>,</u></em><em><u> </u></em><em><u>если</u></em><em><u> </u></em><em><u>одна</u></em><em><u> </u></em><em><u>сторона</u></em><em><u> </u></em><em><u>равностороннего</u></em><em><u> </u></em><em><u>треугольника</u></em><em><u> </u></em><em><u>соотв</u></em><em><u>етственно</u></em><em><u> </u></em><em><u>равна</u></em><em><u> </u></em><em><u>стороне</u></em><em><u> </u></em><em><u>другого</u></em><em><u> </u></em><em><u>равностороннего</u></em><em><u> </u></em><em><u>треугольника</u></em><em><u>,</u></em><em><u> </u></em><em><u>то</u></em><em><u> </u></em><em><u>такие</u></em><em><u> </u></em><em><u>треугольники</u></em><em><u> </u></em><em><u>равны</u></em><em><u>.</u></em><em><u> </u></em><em><u>Ответ</u></em><em><u>:</u></em><em><u> </u></em><em><u>2</u></em><em><u> </u></em><em><u>измерен</u></em><em><u>ия</u></em><em><u> </u></em><em><u>-</u></em><em><u> </u></em><em><u>сторону</u></em><em><u> </u></em><em><u>первого </u></em><em><u>треугольника</u></em><em><u> </u></em><em><u>и</u></em><em><u> </u></em><em><u>соответственно</u></em><em><u> </u></em><em><u>сторону</u></em><em><u> </u></em><em><u>второго</u></em><em><u>.</u></em>
Диагонали делят квадрат на четыре равных треугольника.
Красные углы равны как вертикальные и как полученные вычитанием общей части из прямых углов.
Красные отрезки проведены из соответствующих вершин равных треугольников под равными углами к соответствующим сторонам, следовательно равны.
В синем четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам - признак параллелограмма.
В параллелограмме диагонали равны - признак прямоугольника.
В прямоугольнике диагонали перпендикулярны - признак квадрата.
Неверное утверждение 3)
Предположим, что А₁С₁⊥DC₁, но А₁С₁⊥СС₁ как стороны прямоугольника, значит А₁С₁⊥(DCC₁).
Получается, что из одной точки А₁ проведено два перпендикуляра к плоскости (DCC₁) - А₁D₁ и А₁С₁, что невозможно. Значит утверждение неверно.