Question

ABCD-прямоугольник. Точка P и T- внутренние точки отрезков BC и CD соответственно, AP=PT. Известно,что BP=2 см, угол BAP=30,угол APT=100.Вычислите длины сторон треугольника APT .

Answer 1

$ABCD-$ прямоугольник
$P$ ∈ $BC$
$T$ ∈ $CD$
$AP=PT$
$BP=2$ см
$\ \textless \ BAP=30к$
$\ \textless \ APT=100к$
$AP-$ ? 
$PT-$ ? 
$AT-$ ?

$ABCD-$ прямоугольник
$\ \textless \ A=\ \textless \ B=\ \textless \ C=\ \textless \ D=90к$
Δ $ABP-$ прямоугольный
$BP=2$ см
$\ \textless \ BAP=30к$
$BP= \frac{1}{2}AP$ (как катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°)
$AP=2*BP=2*2=4$ (см)
$AP=PT$ (по условию) ⇒ Δ $APT-$ равнобедренный
$AP=PT=4$ (см)
$\ \textless \ PAT=\ \textless \ PTA$
$\ \textless \ APT=100к$
$2\ \textless \ PAT+\ \textless \ APT=180к$
$2\ \textless \ PAT+100к=180к$
$2\ \textless \ PAT=80к$
$\ \textless \ PAT=40к$
$\ \textless \ PAT=\ \textless \ PTA=40к$
по теореме косинусов найдем AT:
$AT^2=AP^2+PT^2-2*AP*PT*cos\ \textless \ APT$
$AT^2=4^2+4^2-2*4*4*cos100к$
$AT^2=32-32*cos100к$
$AT^2=32-32*cos(180к-80к)$
$AT^2=32+32*cos80к$
$AT= \sqrt{32+32*cos80к}$
$AT= \sqrt{32(1+cos80к)} =\sqrt{32*2cos^240к}= \sqrt{64cos^240к}=8cos40к$ (см)

Ответ: 4 см; 4 см; 8cos40° см