Грязно получилось, но ответ вроде правильный.
1.
а) Пусть Н - середина АС, тогда ЕН - средняя линия ΔАВС,
ЕН║СВ, ⇒ ЕН⊥АС.
ЕН - проекция наклонно МН на плоскость АВС, значит и
МН⊥АС по теореме о трех перпендикулярах.
Значит МН - искомое расстояние от точки М до прямой АС.
ЕН = ВС/2 = 16/2 = 8 см
ΔМЕН: ∠МЕН = 90°, по теореме Пифагора
МН = √(МЕ² + ЕН²) = √(80 + 64) = √144 = 12 см
б) Sacm = 1/2 ·AC · MH = 1/2 · 16 · 12 = 96 см²
ΔАСЕ - проекция ΔАСМ на плоскость АВС.
Sace = 1/2 ·AC · EH = 1/2 · 16 · 8 = 64 см²
в) ВС ⊂ АВС, ЕМ ∩ АВС = Е, Е ∉ ВС, ⇒
ЕМ и ВС - скрещивающиеся.
Пусть К - середина ВС, тогда ЕК - средняя линия ΔАВС,
ЕК║АС, значит ЕК⊥ВС.
МЕ⊥ЕК, так как МЕ ⊥АВС, а ЕК ⊂ АВС.
ЕК - перпендикуляр и двум скрещивающимся прямым, значит
ЕК - искомое расстояние между прямыми МЕ и ВС.
ЕК = АС/2 = 16/2 = 8 см (как средняя линия ΔАВС)
2.
AВ⊥АD, так как ABCD - квадрат.
АВ - проекция АВ₁ на плоскость основания, значит
АВ₁⊥AD по теореме о трех перпендикулярах.
∠В₁АВ - линейный угол двугранного угла В₁ADB - искомый.
Пусть а - ребро основания.
Из прямоугольного треугольника АВС по теореме Пифагора:
а² + а² = 72
2а² = 72
а² = 36
а = 6 см
ΔВ₁АВ: ∠В₁ВА = 90°,
cos∠В₁АВ = AB/AB₁
cos∠В₁АВ = 6 / (4√3) = 3 / (2√3) = 3√3 / 6 = √3/2
∠В₁АВ = 30°
АВСД - трапеция. Основание ВС=28 см; основание АД=28+9=37 см.
Из точки С опустим ⊥ на АД, получим т.Н
АВСН - квадрат. все углы прямые и диагональ АС делит ∠А пополам.
h=АВ=28 см
S=(ВС+АД)/2 * h=(28+37)*28/2=910 cм².
Tga=sina/cosa. sina=√(1-cos^2a)√5/3. tga=√5/3*3/2=√5/2. ответ √5/2
получаем прямоугольный Δ, где боковое ребро наклонной призмы -это гипотенуза, а 30° -это угол при гипотенузе
